Resolva as integrais das funções racionais: integral (2 x^2-3 x-3) d x(x-1)(x^2-2 x+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para integrar uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A função que vamos integrar é:
integral 2x^2 - 3x - 3(x - 1)(x^2 - 2x + 5) , dx
Para resolver isso, vamos usar a fração parcial, uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Precisaremos identificar os fatores no denominador e formular uma expressão equivalente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
(x - 1)(x^2 - 2x + 5)
Aqui, temos um fator linear (x - 1) e um fator quadrático irreduzível (x^2 - 2x + 5), pois não pode ser fatorado mais com números reais.

Passo 3

Agora, vamos montar a fração parcial. Para cada fator distinto no denominador, associamos um termo na decomposição:
  • Para o fator linear (x - 1), usamos uma constante A.
  • Para o fator quadrático (x^2 - 2x + 5), usamos uma expressão linear Bx + C.
Então, a decomposição fica:
2x^2 - 3x - 3(x - 1)(x^2 - 2x + 5) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 - 2x + 5

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar os valores de A, B e C. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum (x - 1)(x^2 - 2x + 5) para eliminar as frações:
2x^2 - 3x - 3 = A(x^2 - 2x + 5) + (Bx + C)(x - 1)

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
A(x^2 - 2x + 5) = A x^2 - 2A x + 5A
(Bx + C)(x - 1) = Bx^2 - Bx + Cx - C
Somando essas duas partes:
A x^2 - 2A x + 5A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Simplificando:
(A + B)x^2 + (-2A - B + C)x + (5A - C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
2x^2 - 3x - 3 = (A + B)x^2 + (-2A - B + C)x + (5A - C)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Para x^2: A + B = 2
  2. Para x: -2A - B + C = -3
  3. Para o termo constante: 5A - C = -3

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação:
A + B = 2 Rightarrow B = 2 - A
Da terceira equação:
5A - C = -3 Rightarrow C = 5A + 3
Substituindo B e C na segunda equação:
-2A - (2 - A) + (5A + 3) = -3
Simplificando:
-2A - 2 + A + 5A + 3 = -3
( -2A + A + 5A ) + (-2 + 3) = -3
4A + 1 = -3
4A = -4 Rightarrow A = -1

Passo 8

Agora que temos A = -1, vamos encontrar B e C.
Para B:
B = 2 - A = 2 - (-1) = 3
Para C:
C = 5A + 3 = 5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2

Passo 9

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
2x^2 - 3x - 3(x - 1)(x^2 - 2x + 5) = -1x - 1 + 3x - 2x^2 - 2x + 5

Passo 10

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral -1x - 1 , dx + integral 3x - 2x^2 - 2x + 5 , dx
Vamos resolver cada integral uma de cada vez.

Passo 11

Primeira integral:
integral -1x - 1 , dx = -ln|x - 1| + C1

Passo 12

Segunda integral:
Para integrar 3x - 2x^2 - 2x + 5, primeiro completamos o quadrado no denominador:
x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4
Agora, reescrevemos a integral:
integral 3x - 2(x - 1)^2 + 4 , dx
Vamos fazer uma substituição:
u = x - 1 Rightarrow du = dx
Além disso, reescrevemos o numerador em termos de u:
3x - 2 = 3(u + 1) - 2 = 3u + 3 - 2 = 3u + 1
Então, a integral fica:
integral 3u + 1u^2 + 4 , du = 3 integral uu^2 + 4 , du + integral 1u^2 + 4 , du

Passo 13

Vamos resolver cada parte:
Primeira parte:
3 integral uu^2 + 4 , du
Fazendo a substituição v = u^2 + 4, dv = 2u , du, então:
32 ln|u^2 + 4| + C2
Segunda parte:
integral 1u^2 + 4 , du = 12 tan^-1(u2) + C3

Passo 14

Juntando as duas partes:
32 ln|u^2 + 4| + 12 tan^-1(u2) + C
Substituindo de volta u = x - 1:
32 ln((x - 1)^2 + 4) + 12 tan^-1(x - 12) + C

Passo 15

Agora, juntando todas as partes da integral original:
- ln|x - 1| + 32 ln((x - 1)^2 + 4) + 12 tan^-1(x - 12) + C

Resposta

Então, a integral resolvida é:
integral 2x^2 - 3x - 3(x - 1)(x^2 - 2x + 5) , dx = - ln|x - 1| + 32 ln((x - 1)^2 + 4) + 12 tan^-1(x - 12) + C
Onde C é a constante de integração.

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