Resolva as integrais das funções racionais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para integrar uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos usar a fração parcial, uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Precisaremos identificar os fatores no denominador e formular uma expressão equivalente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
Aqui, temos um fator linear
e um fator quadrático irreduzível
, pois não pode ser fatorado mais com números reais.
Passo 3
Agora, vamos montar a fração parcial. Para cada fator distinto no denominador, associamos um termo na decomposição:
- Para o fator linear
, usamos uma constante . - Para o fator quadrático
, usamos uma expressão linear .
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar os valores de
,
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Somando essas duas partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo
e
na segunda equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 10
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral uma de cada vez.
Passo 11
Primeira integral:
Passo 12
Segunda integral:
Para integrar
, primeiro completamos o quadrado no denominador:
Agora, reescrevemos a integral:
Vamos fazer uma substituição:
Além disso, reescrevemos o numerador em termos de
:
Então, a integral fica:
Passo 13
Vamos resolver cada parte:
Primeira parte:
Fazendo a substituição
,
, então:
Segunda parte:
Passo 14
Juntando as duas partes:
Substituindo de volta
:
Passo 15
Agora, juntando todas as partes da integral original:
Resposta
Então, a integral resolvida é:
Onde
é a constante de integração.