Resolva o PVC com EDO
& y^prime prime(t)+5 y^prime(t)+4 y(t)=deçãáçõ

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve uma força impulsiva representada pela função delta de Dirac, y''(t) + 5 y'(t) + 4 y(t) = de. A equação é:
Além disso, temos as condições de contorno que nos dizem que tanto quanto sua derivada tendem a zero quando vai para mais ou menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver EDOs lineares com coeficientes constantes e como lidar com a função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo da delta:
y''(t) + 5 y'(t) + 4 y(t) = 0
Para resolver essa equação homogênea, assumimos que a solução tem a forma r^2 e^rt + 5 r e^rt + 4 e^rt = 0 , onde r^2 + 5 r + 4 = 0 é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 5 r + 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -5 pm raiz25 - 162 = -5 pm 32
Isso nos dá duas raízes reais:
r1 = -5 + 32 = -1 e r2 = -5 - 32 = -4

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-4t
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.

Passo 5

Agora, precisamos considerar o termo da função delta de Dirac s^2 Y(s) + 5 s Y(s) + 4 Y(s) = 1 . Essa função representa uma força impulsiva aplicada no instante . Para resolver a equação completa, usamos a propriedade da transformação de Laplace, que facilita o manuseio de impulsos.
A transformada de Laplace da equação é:
Aqui, é a transformada de .

Passo 6

Vamos agora resolver para Y(s) (s^2 + 5 s + 4) = 1 :
Y(s) = 1s^2 + 5 s + 4

Passo 7

Precisamos fatorar o denominador:
s^2 + 5 s + 4 = (s + 1)(s + 4)
Então,
Y(s) = 1(s + 1)(s + 4)

Passo 8

Agora, aplicamos a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão:
1(s + 1)(s + 4) = As + 1 + Bs + 4
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(s + 4) + B(s + 1) :
Agora, escolhemos valores de para encontrar e .

Passo 9

Primeiro, deixe 1 = A(-1 + 4) + B(0) Rightarrow 1 = 3A Rightarrow A = 13 :
1 = A(0) + B(-4 + 1) Rightarrow 1 = -3B Rightarrow B = -13
Agora, deixe :

Passo 10

Substituindo Y(s) = 1/3s + 1 - 1/3s + 4 e de volta na expressão de :

Passo 11

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) = 13 e^-t - 13 e^-4t :

Resposta

A solução da EDO é:
y(t) = 13 e^-t - 13 e^-4t

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