Como feito em sala, usando o método de varíaveis separaveis, encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira (Dica: use exercício 5 e 6)
{ u_t = alpha^2 u_xx, 0 < x < 1, t > 0; u(0, t) = 0, u_x(L, t) = 0, t > 0; u(x, 0) = f(x), 0 < x < L }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial parcial conhecida como equação do calor, que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo e do espaço. O problema especifica uma condição inicial e duas condições de fronteira: e , onde é o comprimento do intervalo espacial (nesse caso, ).
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar a equação em partes que dependem apenas de e apenas de . Vamos precisar entender como aplicar esse método e usar conceitos como autovalores e autofunções para construir a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método de separação de variáveis. A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Então, escrevemos:

Passo 3

Agora, precisamos substituir essa expressão na equação original . Calculando as derivadas, temos:
Substituindo na equação:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Vamos resolver a equação para . A equação diferencial é:
Essa é uma equação trigonométrica cuja solução geral depende dos valores de .

Passo 6

Aplicando as condições de fronteira, primeiro temos , o que implica . A segunda condição é , que se traduz em .
Essas condições nos ajudam a determinar os valores possíveis de (os autovalores) e as correspondentes funções (as autofunções).

Passo 7

Para não trivialidade, deve ser tal que a solução não seja trivial (ou seja, ). As soluções que satisfazem as condições de fronteira são da forma:
com os autovalores:
onde

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para :
A solução dessa equação é uma função exponencial decrescente:

Passo 9

Com as funções e encontradas, a solução geral da equação do calor é uma soma infinita de modos separados:
Aqui, são os coeficientes que determinamos a partir da condição inicial.

Passo 10

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial . Então:
Isso é uma série de Fourier, e os coeficientes são dados por:

Resposta

A soluç��o do problema é dada por:

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