Como feito em sala, usando o método de varíaveis separaveis, encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira (Dica: use exercício 5 e 6)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial parcial conhecida como equação do calor, que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo e do espaço. O problema especifica uma condição inicial e duas condições de fronteira: e , onde é o comprimento do intervalo espacial (nesse caso, ).
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar a equação em partes que dependem apenas de e apenas de . Vamos precisar entender como aplicar esse método e usar conceitos como autovalores e autofunções para construir a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de separação de variáveis. A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Então, escrevemos:
Passo 3
Agora, precisamos substituir essa expressão na equação original . Calculando as derivadas, temos:
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver a equação para . A equação diferencial é:
Essa é uma equação trigonométrica cuja solução geral depende dos valores de .
Passo 6
Aplicando as condições de fronteira, primeiro temos , o que implica . A segunda condição é , que se traduz em .
Essas condições nos ajudam a determinar os valores possíveis de (os autovalores) e as correspondentes funções (as autofunções).
Passo 7
Para não trivialidade, deve ser tal que a solução não seja trivial (ou seja, ). As soluções que satisfazem as condições de fronteira são da forma:
com os autovalores:
onde
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para :
A solução dessa equação é uma função exponencial decrescente:
Passo 9
Com as funções e encontradas, a solução geral da equação do calor é uma soma infinita de modos separados:
Aqui, são os coeficientes que determinamos a partir da condição inicial.
Passo 10
Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial . Então:
Isso é uma série de Fourier, e os coeficientes são dados por: