Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita. A região no interior do círculo x^2 + y^2 = 4 e à direita da reta x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma região que está dentro do círculo e à direita da reta . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender como converter a equação do círculo e da reta para coordenadas polares e definir os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares, e . A equação do círculo fica simplesmente , porque .

Passo 3

Agora, vamos converter a reta para coordenadas polares. Substituindo , temos:
Então, a reta em coordenadas polares é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de . Como queremos a região à direita da reta , deve ser maior ou igual a 1, o que implica que deve ser positiva. Portanto, varia entre e , porque , que é o ponto onde a reta e o círculo se intersectam.

Passo 5

Para cada ângulo nesse intervalo, começa na reta e vai até o círculo . Então, os limites de são de a 2.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla para a área :
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 8

Substituímos de volta na integral externa:

Passo 9

Agora, integramos em :
Sabemos que .

Passo 10

Calculando os valores:
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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