Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita. A região no interior do círculo
e à direita da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma região que está dentro do círculo
e à direita da reta
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender como converter a equação do círculo e da reta para coordenadas polares e definir os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares,
e
. A equação do círculo
fica simplesmente
, porque
.
Passo 3
Agora, vamos converter a reta
para coordenadas polares. Substituindo
, temos:
Então, a reta
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de
. Como queremos a região à direita da reta
,
deve ser maior ou igual a 1, o que implica que
deve ser positiva. Portanto,
varia entre
e
, porque
, que é o ponto onde a reta e o círculo se intersectam.
Passo 5
Para cada ângulo
nesse intervalo,
começa na reta
e vai até o círculo
. Então, os limites de
são de
a 2.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla para a área
:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Substituímos de volta na integral externa:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Sabemos que
.
Passo 10
Calculando os valores:
Sabendo que
e
, substituímos:
Resposta
A área da região é
unidades de área.