Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade): -F^-1{F(ω-a)} = e^(i a t) f(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para demonstrar que . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Fourier, especificamente propriedades relacionadas à transformada inversa e deslocamento em frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformada inversa funciona e como um deslocamento na frequência afeta a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Inversa de Fourier. Ela pega uma função no domínio da frequência e a transforma de volta para o domínio do tempo . A fórmula da transformada inversa é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando a função é deslocada em frequência, ou seja, substituímos por . Vamos calcular a transformada inversa de :
Para simplificar essa integral, fazemos uma substituição: seja , então . A integral fica:
Podemos separar os termos do expoente:
Então, a integral fica:
Reconhecemos que a parte dentro dos parênteses é exatamente , já que é a transformada inversa de :

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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