Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para demonstrar que
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Fourier, especificamente propriedades relacionadas à transformada inversa e deslocamento em frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformada inversa funciona e como um deslocamento na frequência
afeta a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Inversa de Fourier. Ela pega uma função no domínio da frequência
e a transforma de volta para o domínio do tempo
. A fórmula da transformada inversa é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando a função
é deslocada em frequência, ou seja, substituímos
por
. Vamos calcular a transformada inversa de
:
Para simplificar essa integral, fazemos uma substituição: seja
, então
. A integral fica:
Podemos separar os termos do expoente:
Então, a integral fica:
Reconhecemos que a parte dentro dos parênteses é exatamente
, já que é a transformada inversa de
:
Resposta
Portanto, demonstramos que: