Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade): -F{f^(n)(t)} = (i ω)^(n) F{f(t)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para demonstrar uma identidade que relaciona a transformada de Fourier da derivada de uma função com a própria transformada de Fourier de . O conteúdo que vamos precisar envolve as propriedades das transformadas de Fourier, especialmente como elas se comportam quando aplicamos derivadas. Então, vamos usar essas propriedades para chegar na nossa identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier de uma função :
Aqui, é a transformada de Fourier de , é a frequência angular, e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transformada de Fourier da derivada de ordem de , ou seja, . Sabemos que cada vez que derivamos uma função no domínio do tempo, isso se traduz em uma multiplicação por no domínio da frequência. Matemáticamente, para a primeira derivada temos:

Passo 4

Extendendo isso para a derivada de ordem , a propriedade se generaliza para:
Isso significa que, ao aplicar a transformada de Fourier à derivada -ésima de , multiplicamos a transformada de Fourier de por .

Resposta

Assim, demonstramos que:

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