Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para demonstrar uma identidade que relaciona a transformada de Fourier da derivada de uma função
com a própria transformada de Fourier de
. O conteúdo que vamos precisar envolve as propriedades das transformadas de Fourier, especialmente como elas se comportam quando aplicamos derivadas. Então, vamos usar essas propriedades para chegar na nossa identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier de uma função
:
Aqui,
é a transformada de Fourier de
,
é a frequência angular, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transformada de Fourier da derivada de ordem
de
, ou seja,
. Sabemos que cada vez que derivamos uma função no domínio do tempo, isso se traduz em uma multiplicação por
no domínio da frequência. Matemáticamente, para a primeira derivada temos:
Passo 4
Extendendo isso para a derivada de ordem
, a propriedade se generaliza para:
Isso significa que, ao aplicar a transformada de Fourier à derivada
-ésima de
, multiplicamos a transformada de Fourier de
por
.
Resposta
Assim, demonstramos que: