Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade envolvendo a transformada de Fourier. Basicamente, precisamos mostrar que:
Aqui,
representa a transformada de Fourier,
é a função degrau de Heaviside, e
é a n-ésima derivada de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Fourier, especialmente como ela lida com derivadas e com funções como o degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a transformada de Fourier lida com derivadas. Se temos a transformada de Fourier de
, que é
, então a transformada da n-ésima derivada de
é dada por:
No nosso caso, temos um sinal de
. A presença de
indica que estamos trabalhando com sinais causais, ou seja, definidos para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier ao termo
. Usando a propriedade da derivada na transformada de Fourier, temos:
Os “termos de contorno” surgem devido às derivadas aplicadas ao
, que é o degrau de Heaviside. Cada derivada de
resulta em uma função delta de Dirac,
, que avalia a função em
.
Passo 4
Considerando essas contribuições dos termos de contorno, devemos somar os efeitos das derivadas até a ordem
. Isso resulta na soma:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada logo após
.
Passo 5
Juntando tudo, temos que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade que queríamos demonstrar:
Resposta
Assim, demonstramos a identidade proposta utilizando as propriedades da transformada de Fourier para derivadas e funções causais.