Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade): -Fu(t) f^(n)(t) stackrelt>0=(-i omega)^n Fu(t) f(t)+sumk=0^n-1(-i omega)^n-1-k f^k(0^+)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade envolvendo a transformada de Fourier. Basicamente, precisamos mostrar que:
-Fu(t) f^(n)(t) stackrelt>0=(-i omega)^n Fu(t) f(t)+sumk=0^n-1(-i omega)^n-1-k f^k(0^+)
Aqui, F representa a transformada de Fourier, u(t) é a função degrau de Heaviside, e f^(n)(t) é a n-ésima derivada de f(t). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Fourier, especialmente como ela lida com derivadas e com funções como o degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a transformada de Fourier lida com derivadas. Se temos a transformada de Fourier de f(t), que é Ff(t) = F(omega), então a transformada da n-ésima derivada de f(t) é dada por:
Ff^(n)(t) = (i omega)^n F(omega)
No nosso caso, temos um sinal de u(t) f^(n)(t). A presença de u(t) indica que estamos trabalhando com sinais causais, ou seja, definidos para t > 0.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Fourier ao termo u(t) f^(n)(t). Usando a propriedade da derivada na transformada de Fourier, temos:
Fu(t) f^(n)(t) = (i omega)^n Fu(t) f(t) + termos de contorno
Os “termos de contorno” surgem devido às derivadas aplicadas ao u(t), que é o degrau de Heaviside. Cada derivada de u(t) resulta em uma função delta de Dirac, de, que avalia a função em t=0.

Passo 4

Considerando essas contribuições dos termos de contorno, devemos somar os efeitos das derivadas até a ordem n-1. Isso resulta na soma:
sumk=0^n-1 (-i omega)^n-1-k f^(k)(0^+)
Aqui, f^(k)(0^+) representa a k-ésima derivada de f(t) avaliada logo após t=0.

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
Fu(t) f^(n)(t) = (i omega)^n Fu(t) f(t) + sumk=0^n-1 (-i omega)^n-1-k f^(k)(0^+)
Multiplicando ambos os lados por -1, obtemos a identidade que queríamos demonstrar:
-Fu(t) f^(n)(t) = (-i omega)^n Fu(t) f(t) + sumk=0^n-1 (-i omega)^n-1-k f^(k)(0^+)

Resposta

Assim, demonstramos a identidade proposta utilizando as propriedades da transformada de Fourier para derivadas e funções causais.

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