Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita. A região compreendida pela rosácea
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pela rosácea dada pela equação
usando uma integral dupla em coordenadas polares. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares, especialmente a fórmula para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é uma equação de uma rosácea com 4 pétalas (quando o número que multiplica
é par, o número de pétalas é o dobro). Isso significa que a curva se repete a cada
radianos.
Passo 3
Para calcular a área de uma pétala, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde
e
são os limites de integração que correspondem a uma pétala da rosácea.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para uma pétala. Como a rosácea completa uma pétala a cada
radianos, podemos escolher, por exemplo, de
a
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área:
Passo 6
Simplificamos o integrando usando a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Agora, integremos:
Avaliado de
a
:
Passo 8
Multiplicando pelo fator que saiu na frente da integral:
Essa é a área de uma pétala. Como a rosácea tem 4 pétalas, a área total
é:
Resposta
A área da região descrita pela rosácea
é
unidades de área.