Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita. A região compreendida pela rosácea r = sen(2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pela rosácea dada pela equação usando uma integral dupla em coordenadas polares. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares, especialmente a fórmula para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma equação de uma rosácea com 4 pétalas (quando o número que multiplica é par, o número de pétalas é o dobro). Isso significa que a curva se repete a cada radianos.

Passo 3

Para calcular a área de uma pétala, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde e são os limites de integração que correspondem a uma pétala da rosácea.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para uma pétala. Como a rosácea completa uma pétala a cada radianos, podemos escolher, por exemplo, de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Simplificamos o integrando usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Agora, integremos:
Avaliado de a :

Passo 8

Multiplicando pelo fator que saiu na frente da integral:
Essa é a área de uma pétala. Como a rosácea tem 4 pétalas, a área total é:

Resposta

A área da região descrita pela rosácea é unidades de área.

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