Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita. A região compreendida pela cardioide r = 1 - cos(θ).

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a área de uma região que é formada por uma cardioide descrita pela equação . Para isso, vamos usar uma integral dupla em coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como calcular áreas usando integrais em coordenadas polares e entender um pouco sobre a forma da cardioide.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área de uma região delimitada por é:
Aqui, e são os limites de que descrevem toda a região.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para a nossa cardioide . A cardioide completa uma volta completa quando varia de a . Então, nossos limites serão:

Passo 4

Vamos substituir na fórmula da área pela equação da cardioide e configurar a integral:
Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
Substituindo na expressão da área:

Resposta

A área da região descrita pela cardioide é unidades de área.

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