Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita. A região compreendida pela cardioide
.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a área de uma região que é formada por uma cardioide descrita pela equação
. Para isso, vamos usar uma integral dupla em coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como calcular áreas usando integrais em coordenadas polares e entender um pouco sobre a forma da cardioide.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área
de uma região delimitada por
é:
Aqui,
e
são os limites de
que descrevem toda a região.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para a nossa cardioide
. A cardioide completa uma volta completa quando
varia de
a
. Então, nossos limites serão:
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula da área pela equação da cardioide e configurar a integral:
Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
Substituindo na expressão da área:
Resposta
A área da região descrita pela cardioide
é
unidades de área.