Resolva o PVC com EDP
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Parcial (EDP) que descreve como uma função
varia no espaço (
) e no tempo (
). A equação dada é:
Além disso, temos Condições de Contorno (CC) que nos dizem como
se comporta quando
tende ao infinito, e uma Condição Inicial (CI) que define o valor de
no tempo
. Para resolver essa EDP, precisamos utilizar conhecimentos de cálculo e teoria de equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor.
Passo 2
Vamos começar identificando a equação que temos. A equação dada é semelhante à Equação do Calor, que modela como a temperatura se difunde em um meio ao longo do tempo. A forma geral da Equação do Calor em uma dimensão é:
Onde:
-
é a temperatura em posição e tempo . -
é a segunda derivada de em relação a , representando a concavidade da temperatura no espaço. -
é a derivada de em relação a , indicando a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo. -
é a difusividade térmica do material.
Passo 3
Agora, vamos considerar as Condições de Contorno (CC):
Estas condições nos dizem que, à medida que nos afastamos para o infinito no espaço (
), a temperatura
e sua derivada espacial
tendem a zero. Isso significa que o efeito da fonte de calor se dissipa completamente no infinito.
Passo 4
A Condição Inicial (CI) é dada por:
Aqui,
representa a Função Delta de Dirac, que é uma função que é zero em todos os lugares exceto em
, onde é infinita de forma que sua integral seja igual a 1. Isso modela uma fonte de calor pontual no instante inicial.
Passo 5
Para resolver essa EDP com as condições dadas, utilizaremos o método da transformada de Fourier. A transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando funções do domínio do espaço para o domínio da frequência.
Aplicando a transformada de Fourier na equação do calor:
Sabemos que:
Onde
é a transformada de Fourier de
e
é a variável de frequência.
Passo 6
Substituindo na equação transformada, temos:
Rearranjando os termos:
Esta é uma equação diferencial ordinária (EDO) que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 7
A solução geral dessa EDO é da forma:
Agora, precisamos encontrar
, que é a transformada de Fourier da condição inicial
. Sabemos que:
Portanto,
Passo 8
Agora, para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Sabemos que:
Onde
.
Passo 9
Substituindo
na expressão anterior:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução da Equação Diferencial Parcial dada, com as condições de contorno e inicial especificadas, é:
Essa expressão representa a distribuição da temperatura ao longo do espaço
e do tempo
, iniciando a partir de uma fonte de calor pontual.