Resolva o PVC com EDP
& ux x(x, t)=1alpha^2 ut(x, t) EDP - Equação Diferencial Parcial, & l lim x pm infty u(x, t)=0, lim x pm infty ux(x, t)=0, t >= 0, CC - Condições de contorno homogêneas, & u(x, 0)=deçãçõêçã

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Parcial (EDP) que descreve como uma função uxx(x, t) = 1alpha^2 ut(x, t) varia no espaço ( ) e no tempo ( ). A equação dada é:
Além disso, temos Condições de Contorno (CC) que nos dizem como se comporta quando tende ao infinito, e uma Condição Inicial (CI) que define o valor de no tempo . Para resolver essa EDP, precisamos utilizar conhecimentos de cálculo e teoria de equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor.

Passo 2

Vamos começar identificando a equação que temos. A equação dada é semelhante à Equação do Calor, que modela como a temperatura se difunde em um meio ao longo do tempo. A forma geral da Equação do Calor em uma dimensão é:
uxx = 1alpha^2 ut
Onde:
  • é a temperatura em posição e tempo .
  • é a segunda derivada de em relação a , representando a concavidade da temperatura no espaço.
  • é a derivada de em relação a , indicando a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo.
  • é a difusividade térmica do material.

Passo 3

Agora, vamos considerar as Condições de Contorno (CC):
lim x pm infty u(x, t) = 0
lim x pm infty ux(x, t) = 0
Estas condições nos dizem que, à medida que nos afastamos para o infinito no espaço ( ), a temperatura e sua derivada espacial tendem a zero. Isso significa que o efeito da fonte de calor se dissipa completamente no infinito.

Passo 4

A Condição Inicial (CI) é dada por:
u(x, 0) = de
Aqui, representa a Função Delta de Dirac, que é uma função que é zero em todos os lugares exceto em , onde é infinita de forma que sua integral seja igual a 1. Isso modela uma fonte de calor pontual no instante inicial.

Passo 5

Para resolver essa EDP com as condições dadas, utilizaremos o método da transformada de Fourier. A transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando funções do domínio do espaço para o domínio da frequência.
Aplicando a transformada de Fourier na equação do calor:
Fuxx = 1alpha^2 Fut
Sabemos que:
Fuxx = -k^2 u(k, t)
Fut = partial u(k, t)partial t
Onde é a transformada de Fourier de e é a variável de frequência.

Passo 6

Substituindo na equação transformada, temos:
- k^2 u(k, t) = 1alpha^2 partial u(k, t)partial t
Rearranjando os termos:
partial u(k, t)partial t = - alpha^2 k^2 u(k, t)
Esta é uma equação diferencial ordinária (EDO) que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 7

A solução geral dessa EDO é da forma:
u(k, t) = u(k, 0) e^ - alpha^2 k^2 t
Agora, precisamos encontrar Fde, que é a transformada de Fourier da condição inicial u(k, t) = e^ - alpha^2 k^2 t . Sabemos que:
Portanto,

Passo 8

Agora, para encontrar u(x, t) = F^-1 e^ - alpha^2 k^2 t , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
F^-1 e^ - a k^2 = raiz pia e^ - x^24 a
Sabemos que:
Onde .

Passo 9

Substituindo u(x, t) = raiz pialpha^2 t e^ - x^24 alpha^2 t na expressão anterior:
u(x, t) = 12 alpha raizpi t e^ - x^24 alpha^2 t
Simplificando a expressão:

Resposta

A solução da Equação Diferencial Parcial dada, com as condições de contorno e inicial especificadas, é:
u(x, t) = 12 alpha raizpi t , e^ - x^24 alpha^2 t
Essa expressão representa a distribuição da temperatura ao longo do espaço e do tempo , iniciando a partir de uma fonte de calor pontual.

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