Demonstre as identidades:
\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x}=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{1-\sin x}{\cos x} \;=\;\tan\!\Bigl(\tfrac\pi4 - \tfrac x2\Bigr).
O conteúdo a usar inclui as fórmulas de meio-ângulo que expressam \sin x e \cos x em função de \tan\frac x2 e a fórmula da tangente da diferença de ângulos.

Passo 2

Definimos
t = \tan\frac x2.
As fórmulas de meio-ângulo são
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.
Substituindo em \displaystyle\frac{1-\sin x}{\cos x} e simplificando, temos
\frac{1 - \sin x}{\cos x} = \frac{1 - \dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{\,1 + t^2 - 2t\,}{1 - t^2} = \frac{(1 - t)^2}{(1 - t)(1 + t)} = \frac{1 - t}{1 + t}.

Passo 3

Agora usamos a fórmula da tangente da diferença:
\tan\!\Bigl(\tfrac\pi4 - \tfrac x2\Bigr) = \frac{\tan\frac\pi4 - \tan\frac x2}{1 + \tan\frac\pi4\,\tan\frac x2} = \frac{1 - t}{1 + t}.

Passo 4

Como ambos os lados se reduzem a \dfrac{1 - t}{1 + t}, concluímos que
\frac{1 - \sin x}{\cos x} = \tan\!\Bigl(\tfrac\pi4 - \tfrac x2\Bigr).

Resposta

\frac{1-\sin x}{\cos x} = \tan\!\Bigl(\tfrac\pi4 - \tfrac x2\Bigr).

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