Demonstre as identidades:
\frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{2-\operatorname{sec} ^{2} x}=\operatorname{sec} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2 - \operatorname{sec}^{2}x}
é igual a \operatorname{sec} 2x. Vamos usar a definição de \operatorname{sec} x em termos de \cos x e a identidade do cosseno de ângulo duplo.

Passo 2

Começamos substituindo \operatorname{sec} x = 1/\cos x em todo o numerador e denominador:
\operatorname{sec}^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}, \qquad 2 - \operatorname{sec}^{2}x = 2 - \frac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 3

Reescrevendo a fração original em função de \cos x, temos
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2 - \operatorname{sec}^{2}x} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}x}}{\displaystyle 2 - \frac{1}{\cos^{2}x}} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}x}}{\displaystyle\frac{2\cos^{2}x - 1}{\cos^{2}x}}.

Passo 4

Como estamos dividindo duas frações com o mesmo denominador \cos^{2}x, esse fator se cancela e sobra
\frac{1}{2\cos^{2}x - 1}.

Passo 5

Recordando a identidade do cosseno de ângulo duplo,
\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1,
vemos que
\frac{1}{2\cos^{2}x - 1} = \frac{1}{\cos 2x} = \operatorname{sec} 2x.

Resposta

\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2 - \operatorname{sec}^{2}x} = \operatorname{sec} 2x.

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