Quais das equações diferenciais a seguir possui como solução geral
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma solução geral $ y = c_{1} e^{2 t} + c_{2} e^{-3 t} $ e precisamos descobrir qual equação diferencial tem essa solução. Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem aqui, então precisamos entender como essa solução se encaixa na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem tem a forma $ y = c_{1} e^{r_{1} t} + c_{2} e^{r_{2} t} $, onde $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são as raízes da equação característica associada.
Passo 3
No nosso caso, a solução geral é $ y = c_{1} e^{2 t} + c_{2} e^{-3 t} $. Isso significa que as raízes da equação característica são $ r_{1} = 2 $ e $ r_{2} = -3 $.
Passo 4
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem $ y’’ + a y’ + b y = 0 $ é $ r^{2} + a r + b = 0 $. Vamos usar as raízes que encontramos para montar essa equação.
Passo 5
Sabemos que se as raízes são $ r_{1} = 2 $ e $ r_{2} = -3 $, então podemos escrever a equação característica como $ (r - 2)(r + 3) = 0 $.
Passo 6
Vamos expandir isso: $ (r - 2)(r + 3) = r^{2} + 3r - 2r - 6 = r^{2} + r - 6 $.
Passo 7
Então, a equação característica é $ r^{2} + r - 6 = 0 $, o que corresponde à equação diferencial original $ y’’ + y’ - 6 y = 0 $.
Passo 8
Agora, vamos comparar com a opção dada na questão: $ y’’ + 2 y’ - 3 y = 0 $. Claramente, os coeficientes não correspondem aos que encontramos.
Resposta
A equação diferencial que possui $ y = c_{1} e^{2 t} + c_{2} e^{-3 t} $ como solução geral é $ y’’ + y’ - 6 y = 0 $. A opção apresentada $ y’’ + 2 y’ - 3 y = 0 $ não corresponde a essa solução.