Demonstre as identidades trigonométricas
sen(a+b)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica de sen(a+b). Vamos usar a definição de seno e cosseno no círculo unitário e a ideia de rotação de vetores no plano.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o ponto do círculo unitário correspondente ao ângulo a é
(cos(a),,sen(a))
Rotacionar um vetor (x,y) em torno da origem por um ângulo b equivale a multiplicá-lo pela matriz de rotação
R(b) = cos(b) & -sen(b) sen(b) & cos(b) ,
que é obtida da definição geométrica de rotação no plano.

Passo 3

Aplicando a rotação R(b) ao vetor (cos(a),,sen(a)), temos
R(b)cos(a) [6pt] sen(a) = cos(b),cos(a);-;sen(b),sen(a) [6pt] sen(b),cos(a);+;cos(b),sen(a)
O primeiro componente é justamente cos(a+b) e o segundo é sen(a+b).]

Passo 4

Comparando o segundo componente com sen(a+b), obtemos
sen(a+b) = sen(b),cos(a) + cos(b),sen(a)
Reordenando os fatores, chegamos à forma usual.

Resposta

sen(a+b) = sen(a),cos(b) ;+;cos(a),sen(b)

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