Sejam uma circunferência
com centro
e raio
, e uma reta
tangente a
no ponto
. Traça-se o diâmetro
oblíquo a
. A projeção de
sobre
é o segmento
. Sabendo que a razão entre
e o raio
é
, o ângulo, em radianos, entre
e
é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado trata de uma circunferência
de centro
e raio
, e de uma reta
tangente a
em
. Traça-se um diâmetro
que forma um ângulo oblíquo com
, e projeta-se
sobre
obtendo o segmento
. Sabemos que
e queremos o ângulo, em radianos, entre
e
. Usaremos coordenadas e trigonometria para relacionar essa razão ao cosseno do ângulo.
Passo 2
Escolhemos
como o eixo
(reta
). Como
é tangente em
, o centro
fica em
e
. Seja
o ângulo agudo entre
e
. Então a direção de
é
.
Passo 3
Os extremos do diâmetro são
A projeção de
sobre
é
.
Passo 4
Calculamos a distância
:
Logo
Passo 5
Elevando ao quadrado:
considerando
. Assim
Passo 6
Verificamos que o ângulo entre
e
é justamente
, pois a projeção sobre
encurta
pelo fator
.