Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traça-se o diâmetro A B oblíquo a r. A projeção de A B sobre r é o segmento P Q. Sabendo que a razão entre O Q e o raio R é ^raiz7 / 2, o ângulo, em radianos, entre A B e P Q é
(A) pi4
(B) pi6
(C) 5 pi18
(D) pi3
(E) 7 pi18

Passo 1

O enunciado trata de uma circunferência C de centro O e raio R, e de uma reta r tangente a C em T. Traça-se um diâmetro AB que forma um ângulo oblíquo com r, e projeta-se AB sobre r obtendo o segmento PQ. Sabemos que OQR = raiz72 e queremos o ângulo, em radianos, entre AB e PQ. Usaremos coordenadas e trigonometria para relacionar essa razão ao cosseno do ângulo.

Passo 2

Escolhemos r como o eixo x (reta y=0). Como r é tangente em T, o centro O fica em (0,R) e T=(0,0). Seja phi o ângulo agudo entre AB e r. Então a direção de AB é (cosphi,sinphi).

Passo 3

Os extremos do diâmetro são
A = O - R(cosphi,sinphi) = (-Rcosphi,;R - Rsinphi),
B = O + R(cosphi,sinphi) = (Rcosphi,;R + Rsinphi)
A projeção de B sobre r é Q=(Bx,0)=(Rcosphi,0).

Passo 4

Calculamos a distância OQ:
OQ = raiz(Rcosphi - 0)^2 + (0 - R)^2 = Rraizcos^2phi + 1
Logo
OQR = raiz1 + cos^2phi = raiz72

Passo 5

Elevando ao quadrado:
1 + cos^2phi = 74 Longrightarrow cos^2phi = 34 Longrightarrow cosphi = raiz32,
considerando phiin(0,tfracpi2). Assim
phi = arccos!l(tfracraiz32r) = pi6

Passo 6

Verificamos que o ângulo entre AB e PQ é justamente phi, pois a projeção sobre r encurta AB pelo fator cosphi.

Resposta

pi6

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