Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a
e excentricidade igual
. Considere que os pontos
e D representam as interseções da elipse com as retas de equações
e
. A área do quadrilátero ABCD é
(A) 8
(B) 16
(C)
(D)
(E)
(A) 8
(B) 16
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Temos uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Sabemos que a semi-distância focal é
e a excentricidade é
Como em toda elipse vale
(onde
é o semi-eixo maior) e
(onde
é o semi-eixo menor), vamos usar essas fórmulas para determinar
e
. Em seguida, achamos as interseções da elipse com as retas
e
e, por fim, calculamos a área do quadrilátero
.
Passo 2
Encontramos
a partir de
Então
A equação da elipse é
Passo 3
Interseção com
:
Logo os pontos são
e
.
Interseção com dá o mesmo valor de
, gerando os pontos
e
.
Interseção com
Passo 4
O quadrilátero
formado por essas quatro interseções é um losango cujas diagonais são
O comprimento de cada diagonal é
Passo 5
A área de um losango em função das diagonais
e
é
Aqui
, então