Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a raiz3 e excentricidade igual raiz32. Considere que os pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y=x e y=-x. A área do quadrilátero ABCD é
(A) 8
(B) 16
(C) 163
(D) 165
(E) 167

Passo 1

Temos uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Sabemos que a semi-distância focal é
c=raiz3
e a excentricidade é
e=raiz32
Como em toda elipse vale c = a,e (onde a é o semi-eixo maior) e b^2 = a^2 - c^2 (onde b é o semi-eixo menor), vamos usar essas fórmulas para determinar a e b. Em seguida, achamos as interseções da elipse com as retas y=x e y=-x e, por fim, calculamos a área do quadrilátero ABCD.

Passo 2

Encontramos a a partir de
c = a,e Longrightarrow raiz3 = acdotraiz32 Longrightarrow a = 2
Então
b^2 = a^2 - c^2 = 2^2 - (raiz3)^2 = 4 - 3 = 1 Longrightarrow b = 1
A equação da elipse é
x^22^2 + y^21^2 = 1 Longrightarrow x^24 + y^2 = 1

Passo 3

Interseção com y=x:
x^24 + x^2 = 1 Longrightarrow x^2l(tfrac14 + 1r)=1 Longrightarrow x^2 = 45 Longrightarrow x = pm2raiz5
Logo os pontos são
l(tfrac2raiz5,tfrac2raiz5r) e l(-tfrac2raiz5,-tfrac2raiz5r).
Interseção com y=-x dá o mesmo valor de x, gerando os pontos
l(tfrac2raiz5,-tfrac2raiz5r) e l(-tfrac2raiz5,tfrac2raiz5r).

Passo 4

O quadrilátero ABCD formado por essas quatro interseções é um losango cujas diagonais são
AC:; l(tfrac2raiz5,tfrac2raiz5r)tol(-tfrac2raiz5,-tfrac2raiz5r), BD:; l(tfrac2raiz5,-tfrac2raiz5r)tol(-tfrac2raiz5,tfrac2raiz5r)
O comprimento de cada diagonal é
d = raizl(tfrac2raiz5 - l(-tfrac2raiz5r)r)^2 + l(tfrac2raiz5 - l(-tfrac2raiz5r)r)^2 = raizl(tfrac4raiz5r)^2 + l(tfrac4raiz5r)^2 = 4raiz25

Passo 5

A área de um losango em função das diagonais d1 e d2 é
Área = d1,d22 Á
Aqui d1 = d2 = 4raiztfrac25, então
Área = l(4raiztfrac25r)l(4raiztfrac25r)2 = 16cdot252 = 32/52 = 165 Á

Resposta

165 (alternativa D)

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