Em um quadrilátero ABCD , os ângulos A widehatB C e C widehatD A são retos. Considere que sen(B widehatD C) e sen(B C A) sejam as raízes da equação x^2+b x+c=0, onde b, c in Re. Qual a verdadeira relação satisfeita por b e c ?
(A) b^2+2 c^2=1
(B) b^4+2 c^2=b^2 c
(C) b^2+2 c=1
(D) b^2-2 c^2=1
(E) b^2-2 c=1

Passo 1

O enunciado diz que em um quadrilátero ABCD temos ang<= ABC = 90^circ e ang<= CDA = 90^circ, e que sin(Bwidehat D C) e sin(Bwidehat C A) são raízes da equação
x^2 + b,x + c = 0
Para resolver, vamos usar propriedades de quadrilátero cíclico, teorema de Pitágoras e relações de seno em círculo.

Passo 2

Como ang<= ABC + ang<= CDA = 180^circ, o quadrilátero ABCD é cíclico e o arco CA mede 180^circ, o que faz de AC o diâmetro do círculo circunscrito. Em um círculo de raio R vale
sintheta = corda interceptada2R
Aqui 2R = AC, então
sin(Bwidehat D C) = BCAC, sin(Bwidehat C A) = ABAC

Passo 3

No triângulo ABC retângulo em B, o teorema de Pitágoras dá
AC = raizAB^2 + BC^2
Denotando AB = x e BC = y, temos
alpha = sin(Bwidehat D C) = yraizx^2+y^2, beta = sin(Bwidehat C A) = xraizx^2+y^2
Como alpha e beta são raízes de x^2 + b,x + c = 0, segue
alpha + beta = -b, alpha,beta = c

Passo 4

Calculando alpha + beta e alphabeta:
b^2 = (alpha + beta)^2 = (x+y)^2x^2+y^2, c = alphabeta = xyx^2+y^2
Assim
b^2 - 2c = (x+y)^2x^2+y^2 - 2,xyx^2+y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2xyx^2+y^2 = x^2+y^2x^2+y^2 = 1

Resposta

b^2 - 2c = 1

Exercícios relacionados