Demonstre as identidades trigonométricas
cos (a+b)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica de soma de ângulos para o cosseno, ou seja, provar que cos(a+b) pode ser escrito em função de cos a, cos b, sin a e sin b. O conteúdo é Fórmula de Euler e números complexos: vamos usar a representação e^iθ=cos θ + isin θ.

Passo 2

Lembrando da Fórmula de Euler, para qualquer ângulo θ temos em bloco:
e^iθ = cos θ + isin θ

Passo 3

Aplicamos a Fórmula de Euler ao ângulo somado a+b:
e^i(a+b) = cos(a+b) + isin(a+b)

Passo 4

Por outro lado, usando propriedades de exponenciais:
e^i(a+b) = e^ia cdot e^ib

Passo 5

Agora escrevemos cada exponencial via Euler e fazemos o produto:
e^ia cdot e^ib = (cos a + isin a) ;(cos b + isin b)

Passo 6

Expandindo o produto complexo:
(cos a + isin a)(cos b + isin b) = cos acos b + icos asin b + isin acos b + i^2sin asin b

Passo 7

Como i^2=-1, isso fica
cos acos b + i(cos asin b + sin acos b) - sin asin b

Passo 8

Reagrupando parte real e parte imaginária:
= (cos acos b - sin asin b) + i(sin acos b + cos asin b)

Passo 9

Comparando com e^i(a+b)=cos(a+b)+isin(a+b), concluímos igualando as partes reais:
cos(a+b) = cos acos b - sin asin b

Resposta

cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b

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