Demonstre as identidades trigonométricas
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica de soma de ângulos para o cosseno, ou seja, provar que
pode ser escrito em função de
,
,
e
. O conteúdo é Fórmula de Euler e números complexos: vamos usar a representação
.
Passo 2
Lembrando da Fórmula de Euler, para qualquer ângulo
temos em bloco:
Passo 3
Aplicamos a Fórmula de Euler ao ângulo somado
:
Passo 4
Por outro lado, usando propriedades de exponenciais:
Passo 5
Agora escrevemos cada exponencial via Euler e fazemos o produto:
Passo 6
Expandindo o produto complexo:
Passo 7
Como
, isso fica
Passo 8
Reagrupando parte real e parte imaginária:
Passo 9
Comparando com
, concluímos igualando as partes reais: