Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x^2-S1 x+(S2-12)=0. A razão desta PA é
(A) 16
(B) raiz66
(C) raiz6
(D) raiz63
(E) 1

Passo 1

O enunciado diz que temos três termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) crescente, digamos
t1 = a - d, t2 = a, t3 = a + d,
cuja soma é S1 e a soma dos quadrados é S2. Além disso, sabe-se que os dois maiores termos – isto é, t2 = a e t3 = a + d – são raízes da equação
x^2 - S1x +l(S2-tfrac12r)=0
Precisamos achar a razão d dessa PA.

Passo 2

Expressamos S1 e S2 em função de a e d.
A soma dos três termos é
S1 = (a-d) + a + (a+d) = 3a
A soma dos quadrados é
S2 = (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 3a^2 + 2d^2

Passo 3

Como a e a+d são raízes da equação
x^2 - S1x +l(S2-tfrac12r)=0,
pelas relações de Viète temos:
  1. Soma das raízes:
a + (a+d) = 2a + d = S1 = 3a
  1. Produto das raízes:
a,(a+d) = a^2 + ad = S2 - tfrac12 = l(3a^2 + 2d^2r) - tfrac12

Passo 4

Da soma das raízes 2a + d = 3a segue
d = 3a - 2a = a

Passo 5

Substituindo d = a na igualdade do produto das raízes:
a^2 + a,a = 2a^2 e S2-tfrac12 = l(3a^2 + 2d^2r) - tfrac12 = 3a^2 + 2a^2 - tfrac12 = 5a^2 - tfrac12
Portanto
2a^2 = 5a^2 - tfrac12 Longrightarrow 3a^2 = tfrac12 Longrightarrow a^2 = tfrac16 Longrightarrow a = raiztfrac16
Como d = a, temos
d = raiztfrac16 = raiz66

Resposta

raiz66 (alternativa B)

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