Sabe-se que uma das raízes da equação y^2-9 y+8=0 pode ser representada pela expressão e^(sen^2 x+sen^4 x+sen^6 x+cdots) ln 2. Sendo 0<x<pi2, o valor da razão cos xcos x+sen x é
(A) raiz3-12
(B) raiz3-1
(C) raiz3
(D) raiz3+12
(E) raiz3+1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y^2-9y+8=0
e informa que uma das raízes pode ser escrita como
e^l(sen^2x+sen^4x+sen^6x+cdotsr)ln 2
com 0<x<pi2. Precisamos usar séries geométricas infinitas e equações exponenciais para achar x e então calcular a razão
dfraccos xcos x+sen x.

Passo 2

Vamos primeiro achar as raízes de
y^2-9y+8=0
Pelo discriminante De<a =(-9)^2-4cdot1cdot8=81-32=49, temos
y=9pmraiz492=9pm72,
ou seja, as raízes são
y1=1 e y2=8

Passo 3

A soma infinita
sen^2x+sen^4x+sen^6x+cdots
é uma série geométrica de primeiro termo a=sen^2x e razão r=sen^2x, com lvert sen^2xrvert<1. Logo
sen^2x+sen^4x+sen^6x+cdots =sen^2x1-sen^2x =tan^2x

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão dada, obtemos
e^l(sen^2x+sen^4x+cdotsr)ln 2 =e^tan^2xln2 =2^tan^2x

Passo 5

Como 0<x<tfracpi2, temos tan^2x>0 e assim
2^tan^2x>1
Portanto essa expressão deve ser a raiz y2=8. Logo
2^tan^2x=8 Longrightarrow tan^2x=3 Longrightarrow tan x=raiz3,
e no intervalo dado x=tfracpi3.

Passo 6

Com x=tfracpi3, temos
cos x=tfrac12, sen x=tfracraiz32
Então a razão pedida é
cos xcos x+sen x =tfrac12tfrac12+tfracraiz32 =11+raiz3 =raiz3-12

Passo 7

Comparando com as alternativas, concluímos que a resposta correta é a letra (A).

Resposta

(A) raiz3-12

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