Sejam f(x)=sen(log x) e g(x)=cos (log x) duas funções reais, nas quais log x representa o logaritmo decimal de x. O valor da expressão f(x) cdot f(y)-12[g(xy)-g(x cdot y)] é
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sen(log x) e g(x)=cos(log x), onde log é o logaritmo decimal. Pede o valor da expressão
f(x),f(y)-tfrac12l[g(x/y)-g(xy)r]
Para resolver, vamos usar a substituição A=log x, B=log y e aplicar identidades trigonométricas.

Passo 2

Definindo
A=log x, B=log y,
temos
f(x)=sen A, f(y)=sen B, g!l(tfracxyr)=cos(A-B), g(xy)=cos(A+B)

Passo 3

Reescrevendo a expressão em função de A e B, obtemos
sen A;sen B ;-;tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]

Passo 4

Usamos a identidade de soma de cossenos: para quaisquer u,v,
cos u - cos v = -2,sin!l(tfracu+v2r),sin!l(tfracu-v2r)
Tomando u=A-B e v=A+B, temos
cos(A-B)-cos(A+B) = -2,sin!l(tfrac(A-B)+(A+B)2r),sin!l(tfrac(A-B)-(A+B)2r) =2,sin A,sin B

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão original:
sen A,sen B ;-;tfrac12l[2,sen A,sen Br] =sen A,sen B - sen A,sen B = 0

Resposta

(E) 0

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