Encontre uma família de vetores não nulos v1, v2, v3 subset R^4 tal que v1 é combinação linear de v2, v3, mas v2 não é combinação linear de v1, v3.

Passo 1

O enunciado pede três vetores não nulos v1,v2,v3inR^4 tais que v1 pertença ao span de v2,v3, mas v2 não pertença ao span de v1,v3. O conteúdo aqui é o conceito de combinação linear e de espaço gerado (span). Vamos escolher vetores de forma que v1 seja colinear com v3, garantindo que ele esteja trivially em spanv2,v3, e ao mesmo tempo fazer com que v2 fique fora de spanv1,v3.

Passo 2

Escolhemos primeiro dois vetores v2 e v3 que sejam independentes em direções diferentes. Por exemplo,\r
v2=(0,1,0,0), v3=(2,0,0,0)\r
Eles são não nulos e claramente não colineares.

Passo 3

Definimos v1 como múltiplo escalar de v3, por exemplo\r
v1=(1,0,0,0)=tfrac12,v3

Passo 4

Verificações:\r
  1. v1 é combinação linear de v2,v3 pois\r
v1=0cdotv2+tfrac12cdotv3\r
  1. O espaço spanv1,v3 é a reta gerada por v3, ou seja todos os múltiplos de (2,0,0,0). Como v2=(0,1,0,0) não está nessa reta (não é múltiplo de v3), concluímos que v2notinspanv1,v3.

Resposta

Uma escolha válida é\r
v1=(1,0,0,0), v2=(0,1,0,0), v3=(2,0,0,0)

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