Encontre uma família de vetores não nulos
tal que
é combinação linear de
, mas
não é combinação linear de
.
Passo 1
O enunciado pede três vetores não nulos
tais que
pertença ao span de
, mas
não pertença ao span de
. O conteúdo aqui é o conceito de combinação linear e de espaço gerado (span). Vamos escolher vetores de forma que
seja colinear com
, garantindo que ele esteja trivially em
, e ao mesmo tempo fazer com que
fique fora de
.
Passo 2
Escolhemos primeiro dois vetores
e
que sejam independentes em direções diferentes. Por exemplo,\r
Eles são não nulos e claramente não colineares.
Passo 3
Definimos
como múltiplo escalar de
, por exemplo\r
Passo 4
Verificações:\r
-
é combinação linear de pois\r
- O espaço
é a reta gerada por , ou seja todos os múltiplos de . Como não está nessa reta (não é múltiplo de ), concluímos que .
Resposta
Uma escolha válida é\r