Demonstre por indução:
1^3+2^3+ldots+n^3=(1+2+ldots+n)^2, para n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo n>=1,
1^3 + 2^3 + cdots + n^3 ;=;(1 + 2 + cdots + n)^2
O conteúdo envolvido é o princípio da indução matemática e manipulação algébrica de somatórios.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
sumk=1^1k^3 = 1^3 = 1, l(sumk=1^1kr)^2 = 1^2 = 1
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 valha
sumk=1^nk^3 = l(sumk=1^nkr)^2

Passo 4

Passo indutivo: mostramos que a fórmula vale para n+1.
sumk=1^n+1k^3 = sumk=1^nk^3 ;+;(n+1)^3 ;oversetHI=; l(sumk=1^nkr)^2 + (n+1)^3 =l(tfracn(n+1)2r)^2 + (n+1)^3
Agora fatoramos (n+1)^2:
l(tfracn(n+1)2r)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2l(tfracn^24 + (n+1)r) = (n+1)^2n^2 + 4(n+1)4 = (n+1)^2(n+2)^24 =l(tfrac(n+1)(n+2)2r)^2
Mas
sumk=1^n+1k = (n+1)(n+2)2,
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sumk=1^n+1k^3 =l(sumk=1^n+1kr)^2
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Por indução matemática, para todo n>=1 vale
1^3+2^3+cdots+n^3 ;=;(1+2+cdots+n)^2

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