Encontre a primitiva e justifique.
integral x^2 cos x d x

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma primitiva de
integral x^2cos x,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, usando a fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = cos x,dx
para simplificar ao derivar u. Então
du = 2x,dx, v = integral cos x,dx = sin x
Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x - integral 2x,sin x,dx

Passo 3

Agora precisamos calcular integral 2x,sin x,dx. De novo, integramos por partes com
u1 = 2x, dv1=sin x,dx,
logo
du1=2,dx, v1=integral sin x,dx=-cos x
Então
integral 2x,sin x,dx = 2x(-cos x) - integral (-cos x),2,dx = -2xcos x + 2integral cos x,dx = -2xcos x + 2sin x

Passo 4

Voltando à expressão do Passo 2, substituímos integral 2x,sin x,dx:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x - l(-2xcos x + 2sin xr) + C = x^2sin x + 2xcos x - 2sin x + C

Resposta

boxedx^2sin x + 2xcos x - 2sin x + C

Exercícios relacionados