Determine se F é ou não um campo vetorial conservador
F(x, y)=sin y i+(1+x cos y) j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=sin y,i+l(1+xcos yr),j
é conservador. Para isso, como o domínio é R^2 (que é simplesmente conexo), basta checar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
onde P(x,y)=sin y e Q(x,y)=1+xcos y.

Passo 2

Calculemos
partial Ppartial y =partialpartial yl(sin yr) =cos y,
e
partial Qpartial x =partialpartial xl(1+xcos yr) =cos y

Passo 3

Como em todo R^2 vale
partial Ppartial y =cos y =partial Qpartial x,
concluímos que F é conservador.

Passo 4

Para achar a função potencial f(x,y) satisfazendo
partial fpartial x=P=sin y,
integramos em relação a x:
f(x,y)=integral sin y,dx =xsin y + h(y),
onde h é função de y. Agora impomos
partial fpartial y =partialpartial yl(xsin y + h(y)r) =xcos y + h'(y) stackrel!=Q=1+xcos y
Daí h'(y)=1, logo h(y)=y+C. Então
f(x,y)=xsin y + y + C

Resposta

F é conservador e uma função potencial é
f(x,y)=xsin y + y + C

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