Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Calcule integral duplaR xx^2+y^2, onde R=(x, y) mid x^2+y^2 <= 4, x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR xx^2+y^2 , dx , dy, onde a região R é definida por x^2+y^2 <= 4 e x >= 1. Isso significa que estamos integrando sobre um círculo de raio 2, mas apenas na parte onde x é maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito quando trabalhamos com regiões circulares e expressões que envolvem x^2 + y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para polares. Lembrando que:
x = r cos theta e y = r sin theta
E o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 3

Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas polares:
xx^2+y^2 = r cos thetar^2 = cos thetar
Multiplicando pelo elemento de área, temos:
cos thetar cdot r , dr , dtheta = cos theta , dr , dtheta
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaR xx^2+y^2 , dx , dy = integral integralR cos theta , dr , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região R é definida por x^2+y^2 <= 4 e x >= 1. Em coordenadas polares:
r <= 2 e r cos theta >= 1
Da segunda condição, podemos isolar r:
r >= 1cos theta
Então, para cada ângulo theta, r varia de 1cos theta até 2.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites para theta. A condição r >= 1cos theta faz sentido apenas quando cos theta > 0, ou seja, quando -pi2 < theta < pi2. Além disso, como r <= 2, temos:
1cos theta <= 2 Rightarrow cos theta >= 12
Isso ocorre quando:
-pi3 <= theta <= pi3
Então, theta varia de -pi3 a pi3.

Passo 6

Agora podemos escrever a integral com os limites determinados:
integral-pi3^pi3 integral1cos theta^2 cos theta , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a r:
integral1cos theta^2 cos theta , dr = cos theta cdot [ r ]1cos theta^2 = cos theta (2 - 1cos theta) = 2 cos theta - 1

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral-pi3^pi3 (2 cos theta - 1) , dtheta = 2 integral-pi3^pi3 cos theta , dtheta - integral-pi3^pi3 1 , dtheta
Calculando cada parte:
2 [ sin theta ]-pi3^pi3 - [ theta ]-pi3^pi3 = 2 (sin pi3 - sin (-pi3)) - ( pi3 - (-pi3) )
Sabemos que sin pi3 = raiz32 e sin (-pi3) = -raiz32, então:
2 ( raiz32 + raiz32 ) - 2pi3 = 2raiz3 - 2pi3

Resposta

O valor da integral é 2raiz3 - dfrac2pi3.

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