Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Calcule
, onde
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso significa que estamos integrando sobre um círculo de raio 2, mas apenas na parte onde
é maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito quando trabalhamos com regiões circulares e expressões que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para polares. Lembrando que:
E o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Vamos reescrever a função que vamos integrar em coordenadas polares:
Multiplicando pelo elemento de área, temos:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região
é definida por
e
. Em coordenadas polares:
Da segunda condição, podemos isolar
:
Então, para cada ângulo
,
varia de
até 2.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites para
. A condição
faz sentido apenas quando
, ou seja, quando
. Além disso, como
, temos:
Isso ocorre quando:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
Agora podemos escrever a integral com os limites determinados:
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculando cada parte:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral é
.