Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Calcule o volume do sólido E que está entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=9 e entre os cones raizx^2+y^2 e raizx^2+y^23.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está entre duas esferas e dois cones. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente coordenadas esféricas. Vamos precisar entender as equações das esferas e dos cones e como integrá-las para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as esferas. As esferas dadas são:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 9
Isso significa que temos duas esferas concêntricas, uma de raio 1 e outra de raio 3.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os cones. As equações dos cones são:
z = raizx^2 + y^2 e z = raizx^2 + y^23
Podemos reescrever essas equações em coordenadas esféricas. Lembrando que em coordenadas esféricas:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Onde rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo com o eixo z, e theta é o ângulo no plano xy.

Passo 4

Vamos reescrever as equações dos cones em termos de phi. Para o primeiro cone:
z = raizx^2 + y^2 rho cosphi = rho sinphi cosphi = sinphi tanphi = 1 phi = pi4
Para o segundo cone:
z = raizx^2 + y^23 rho cosphi = raizrho^2 sin^2phi3 cosphi = sinphiraiz3 raiz3 cosphi = sinphi tanphi = raiz3 phi = pi3

Passo 5

Agora sabemos que nosso sólido está limitado pelas esferas de raio 1 e 3, e pelos cones com phi = pi4 e phi = pi3. Vamos configurar a integral em coordenadas esféricas para calcular o volume.

Passo 6

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Os limites de integração serão:
1 <= rho <= 3 pi4 <= phi <= pi3 0 <= theta <= 2pi

Passo 7

Assim, a integral para o volume V será:
V = integral0^2pi integralpi4^pi3 integral1^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos calcular a integral em ordem. Primeiro, integraremos em rho:
integral1^3 rho^2 drho = [ rho^33 ]1^3 = 273 - 13 = 263

Passo 9

Agora, integramos em phi:
integralpi4^pi3 sinphi , dphi = [ -cosphi ]pi4^pi3 = -cos(pi3) + cos(pi4) = -12 + raiz22 = raiz2 - 12

Passo 10

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 11

Multiplicando todos os resultados das integrais:
V = 263 times raiz2 - 12 times 2pi = 263 (raiz2 - 1) pi

Resposta

O volume do sólido E é:
V = 263 (raiz2 - 1) pi

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