Deverão ser resolvidos em detalhes, com explicações de passo a passo, com esboço das funções envolvidas e deverão ser manuscritos.
Calcule o volume do sólido E que está entre as esferas
e
e entre os cones
e
.
Calcule o volume do sólido E que está entre as esferas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está entre duas esferas e dois cones. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente coordenadas esféricas. Vamos precisar entender as equações das esferas e dos cones e como integrá-las para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as esferas. As esferas dadas são:
Isso significa que temos duas esferas concêntricas, uma de raio 1 e outra de raio 3.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os cones. As equações dos cones são:
Podemos reescrever essas equações em coordenadas esféricas. Lembrando que em coordenadas esféricas:
Onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo z, e
é o ângulo no plano xy.
Passo 4
Vamos reescrever as equações dos cones em termos de
. Para o primeiro cone:
Para o segundo cone:
Passo 5
Agora sabemos que nosso sólido está limitado pelas esferas de raio 1 e 3, e pelos cones com
e
. Vamos configurar a integral em coordenadas esféricas para calcular o volume.
Passo 6
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Os limites de integração serão:
Passo 7
Assim, a integral para o volume
será:
Passo 8
Vamos calcular a integral em ordem. Primeiro, integraremos em
:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Passo 10
Por fim, integramos em
:
Passo 11
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido
é: