Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:
, para qualquer
.
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos, por indução em
, a desigualdade
para todo
. O conteúdo principal aqui é o princípio da indução matemática aplicado a produtos de números pares e ímpares.
Passo 2
Base da indução (
).
O lado esquerdo fica
O lado esquerdo fica
e o lado direito é
Logo
ou seja, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que a desigualdade valha para um
genérico, isto é,
Precisamos mostrar que então ela vale para
. Observe que
Pela hipótese de indução,
Resta verificar que
Passo 4
Mostramos a desigualdade do passo indutivo. É equivalente a
Expandindo cada lado:
Como claramente
para todo
, a desigualdade do passo indutivo está provada.
Resposta
Por indução, fica demonstrado que, para todo
,