Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:
1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n <= 1raiz3 n+1, para qualquer n in N.

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos, por indução em n, a desigualdade
1cdot 3cdot 5cdots(2n-1)2cdot 4cdot 6cdots 2n<=1raiz3n+1,
para todo ninN. O conteúdo principal aqui é o princípio da indução matemática aplicado a produtos de números pares e ímpares.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
O lado esquerdo fica
12,
e o lado direito é
1raiz3cdot1+1=1raiz4=12
Logo
12<=12,
ou seja, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que a desigualdade valha para um n genérico, isto é,
1cdot 3cdots(2n-1)2cdot4cdots2n<=1raiz3n+1
Precisamos mostrar que então ela vale para n+1. Observe que
1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)2cdot4cdots2n,(2n+2) =1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots2n;cdot;2n+12n+2
Pela hipótese de indução,
1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)2cdot4cdots2n,(2n+2) <=1raiz3n+1;cdot;2n+12n+2
Resta verificar que
1raiz3n+1;cdot;2n+12n+2 <=1raiz3(n+1)+1 =1raiz3n+4

Passo 4

Mostramos a desigualdade do passo indutivo. É equivalente a
(2n+1)^2(2n+2)^2,(3n+1)<=13n+4 Long<=ftrightarrow (2n+1)^2,(3n+4)<=(2n+2)^2,(3n+1)
Expandindo cada lado:
(2n+1)^2,(3n+4)=12n^3+28n^2+19n+4,
(2n+2)^2,(3n+1)=12n^3+28n^2+20n+4
Como claramente
12n^3+28n^2+19n+4<=12n^3+28n^2+20n+4
para todo n>=1, a desigualdade do passo indutivo está provada.

Resposta

Por indução, fica demonstrado que, para todo ninN,
1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots2n<=1raiz3n+1

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