Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
onde
O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de função de duas variáveis usando séries de Taylor para reduzir a expressão a um limite de variável única.
Passo 2
Para simplificar, faça a mudança de variável
Então
e a função fica
Como
implica
, basta calcular
Passo 3
Use a série de Taylor de ordem 5 para
em torno de 0:
Multiplicando por 2:
Passo 4
Agora aplique a expansão de ordem 4 para
em torno de 0:
Com
, calcule
Logo
Passo 5
Use também a expansão de
até ordem 4:
Subtraindo
Passo 6
Dividindo por
obtemos
Fazendo
, o termo que sobra é
.