Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)=cos (2 sen(2 x y))-cos (2 x y)4(x y)^2.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0)f(x,y),
onde
f(x,y)=cosl(2sen(2xy)r)-cos(2xy)4(xy)^2
O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de função de duas variáveis usando séries de Taylor para reduzir a expressão a um limite de variável única.

Passo 2

Para simplificar, faça a mudança de variável
t = 2xy
Então 4(xy)^2 = t^2 e a função fica
f(x,y) =cosl(2sen tr)-cos tt^2
Como (x,y)to(0,0) implica tto0, basta calcular
limtto0cosl(2sen tr)-cos tt^2

Passo 3

Use a série de Taylor de ordem 5 para sen t em torno de 0:
sen t = t - t^36 + O(t^5)
Multiplicando por 2:
2sen t = 2t - t^33 + O(t^5)

Passo 4

Agora aplique a expansão de ordem 4 para cos z em torno de 0:
cos z = 1 - z^22 + z^424 + O(z^6)
Com z = 2sen t = 2t - tfract^33 + O(t^5), calcule
z^2 = 4t^2 - 43t^4 + O(t^6), z^4 = 16t^4 + O(t^6)
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cosl(2sen tr) =1 - 4t^2 - tfrac43t^42 + 16t^424 + O(t^6) =1 -2t^2 + 43t^4 + O(t^6)

Passo 5

Use também a expansão de cos t até ordem 4:
cos t = 1 - t^22 + t^424 + O(t^6)
Subtraindo
cosl(2sen tr)-cos t =l(1-2t^2+tfrac43t^4r)-l(1-tfract^22+tfract^424r)+O(t^6) =-tfrac32t^2+tfrac3124t^4+O(t^6)

Passo 6

Dividindo por t^2 obtemos
cosl(2sen tr)-cos tt^2 =-tfrac32+tfrac3124t^2+O(t^4)
Fazendo tto0, o termo que sobra é -tfrac32.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)f(x,y) = -32

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