Demonstre os itens abaixo:
u+v=u+w Rightarrow v=w

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, se
u + v = u + w
então necessariamente v = w. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial: existência de inverso aditivo, elemento neutro e associatividade da soma.

Passo 2

Somamos o inverso aditivo de u, que é -u, a ambos os lados da igualdade:
-u + (u + v) ;=;- u + (u + w)
Pela associatividade da soma vetorial, reagrupamos:
(-u + u) + v ;=; (-u + u) + w

Passo 3

Como -u + u = 0 (inverso aditivo) e 0 é o elemento neutro, temos
0 + v = v e 0 + w = w
Logo a igualdade do passo anterior se torna
v = w

Resposta

v = w

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