Sejam os vetores u=(3, m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2). Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 16 .

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2) e pede o valor de m tal que o volume do paralelepípedo formado por eles seja 16. Sabemos que esse volume é o módulo do produto misto, isto é, o valor absoluto do determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores.

Passo 2

Escrevemos o determinante
D = det(u,v,w) = 3 & 1 & 2 m & -1 & -1 -2 & 0 & 2
Fazendo a expansão de cofatores pela primeira linha,
D = 3l((-1)cdot2 - (-1)cdot0r) - 1l(mcdot2 - (-1)cdot(-2)r) + 2l(mcdot0 - (-1)cdot(-2)r)
Calculando cada termo:
3(-2)-1(2m-2)+2(-2) = -6 - (2m-2) -4 = -2m -8

Passo 3

Como o volume é lvert Drvert, impomos
l|,-2m -8r| = 16
Dividindo ambos os lados por 2,
|m+4| = 8
Logo
m+4 = 8 ou m+4 = -8,
de onde
m = 4 ou m = -12

Resposta

m = 4 ou m = -12

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