Demonstre os itens que estão marcados como exercício.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o inverso aditivo do inverso aditivo de um elemento é o próprio elemento, ou seja, demonstrar que
. O conteúdo usado aqui é o de grupos abelianos (ou o conjunto dos reais com adição), onde existem elemento neutro e inverso aditivo.
Passo 2
Pela definição de inverso aditivo temos duas igualdades fundamentais:
Em cada caso, o segundo somando é o inverso aditivo do primeiro.
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade de associatividade da adição e somamos
à segunda igualdade:
Pela associatividade, o lado esquerdo vira
que, usando
, fica
Como
Passo 4
Portanto chegamos a
e assim demonstramos o que se pedia.