Demonstre os itens que estão marcados como exercício.
-(-x)=x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o inverso aditivo do inverso aditivo de um elemento é o próprio elemento, ou seja, demonstrar que -(-x)=x. O conteúdo usado aqui é o de grupos abelianos (ou o conjunto dos reais com adição), onde existem elemento neutro e inverso aditivo.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo temos duas igualdades fundamentais:
x + (-x) = 0
(-x) + (-(-x)) = 0
Em cada caso, o segundo somando é o inverso aditivo do primeiro.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de associatividade da adição e somamos x à segunda igualdade:
x + l((-x) + (-(-x))r) = x + 0
Pela associatividade, o lado esquerdo vira
(x + (-x)) + (-(-x))
que, usando x + (-x)=0, fica
0 + (-(-x)) = x
Como 0 é o elemento neutro, 0 + (-(-x)) = -(-x)).

Passo 4

Portanto chegamos a
-(-x) = x
e assim demonstramos o que se pedia.

Resposta

-(-x)=x

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