Demonstre os itens que estão marcados como exercício.
z^-1 cdot t^-1=(z t)^-1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que z^-1cdot t^-1 = (z t)^-1. O tema é propriedades de inversos em um grupo comutativo (no caso, os números complexos) e vamos usar associatividade, comutatividade e unicidade do inverso multiplicativo.

Passo 2

Sabemos que, para zneq 0 e tneq 0, suas inversas satisfazem as definições
z cdot z^-1 = 1
e
t cdot t^-1 = 1
Essas são as propriedades básicas do inverso multiplicativo.

Passo 3

Vamos verificar que z^-1 cdot t^-1 é de fato o inverso de z t. Calculamos:
(z t),(z^-1 t^-1) = z ; t ; z^-1 ; t^-1
Como a multiplicação em C é associativa e comutativa, podemos reordenar os fatores sem problema:
z ; t ; z^-1 ; t^-1 = z ; z^-1 ; t ; t^-1 = 1 cdot 1 = 1

Passo 4

Pela unicidade do inverso multiplicativo em qualquer grupo, concluímos que o único elemento que multiplicado por z t dá 1 é justamente z^-1 t^-1. Logo, pela definição de inverso, temos
z^-1 cdot t^-1 = (z t)^-1

Resposta

Dessa forma, fica demonstrado que z^-1cdot t^-1 = (z t)^-1.

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