Demonstre os itens que estão marcados como exercício.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que
. O tema é propriedades de inversos em um grupo comutativo (no caso, os números complexos) e vamos usar associatividade, comutatividade e unicidade do inverso multiplicativo.
Passo 2
Sabemos que, para
e
, suas inversas satisfazem as definições
e
Essas são as propriedades básicas do inverso multiplicativo.
Passo 3
Vamos verificar que
é de fato o inverso de
. Calculamos:
Como a multiplicação em
é associativa e comutativa, podemos reordenar os fatores sem problema:
Passo 4
Pela unicidade do inverso multiplicativo em qualquer grupo, concluímos que o único elemento que multiplicado por
dá 1 é justamente
. Logo, pela definição de inverso, temos
Resposta
Dessa forma, fica demonstrado que
.