Demonstre os itens que estão marcados como exercício.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o elemento inverso do inverso de um número complexo (ou de qualquer elemento invertível em um corpo) é o próprio número. Vamos trabalhar na parte de operações com inversos multiplicativos em um corpo (ou em ℂ sem o zero).
Passo 2
A definição de inverso multiplicativo diz que, para um elemento z≠0, existe z^{-1} tal que
$$
z \cdot z^{-1} = 1$$
Caso um elemento w também satisfizesse w \cdot z = 1, pela unicidade do inverso teríamos w = z^{-1}.
Caso um elemento w também satisfizesse w \cdot z = 1, pela unicidade do inverso teríamos w = z^{-1}.
Passo 3
Agora, seja w = z^{-1}. Pelo que sabemos, existe um inverso de w, que chamamos de w^{-1}, e satisfaz
$$
w \cdot w^{-1} = 1
z^{-1} \cdot w^{-1} = 1$$
Comparando com a definição de z^{-1}, que garante z \cdot z^{-1} = 1, vemos que o elemento que multiplica z^{-1} para dar 1 é exatamente z. Ou seja, w^{-1} deve ser z.
Comparando com a definição de z^{-1}, que garante z \cdot z^{-1} = 1, vemos que o elemento que multiplica z^{-1} para dar 1 é exatamente z. Ou seja, w^{-1} deve ser z.
Passo 4
Pela propriedade de unicidade do inverso multiplicativo, o elemento que inverte z^{-1} é só um, e já vimos que z o faz. Logo,