Demonstre os itens que estão marcados como exercício.
(z^-1)^-1=z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o elemento inverso do inverso de um número complexo (ou de qualquer elemento invertível em um corpo) é o próprio número. Vamos trabalhar na parte de operações com inversos multiplicativos em um corpo (ou em ℂ sem o zero).

Passo 2

A definição de inverso multiplicativo diz que, para um elemento z≠0, existe z^{-1} tal que
$$
z \cdot z^{-1} = 1$$
Caso um elemento w também satisfizesse w \cdot z = 1, pela unicidade do inverso teríamos w = z^{-1}.

Passo 3

Agora, seja w = z^{-1}. Pelo que sabemos, existe um inverso de w, que chamamos de w^{-1}, e satisfaz
$$
w \cdot w^{-1} = 1 w cdot w^-1 = 1
z^{-1} \cdot w^{-1} = 1$$
Comparando com a definição de z^{-1}, que garante z \cdot z^{-1} = 1, vemos que o elemento que multiplica z^{-1} para dar 1 é exatamente z. Ou seja, w^{-1} deve ser z.

Passo 4

Pela propriedade de unicidade do inverso multiplicativo, o elemento que inverte z^{-1} é só um, e já vimos que z o faz. Logo,
l(z^-1r)^-1 = z

Resposta

l(z^-1r)^-1 = z

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