Pro os limites com definição formal
lim n infty 2 nn+1=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim n infty 2nn+1=2. A gente vai usar a definição formal de limite, que é uma parte importante do cálculo. Para isso, precisamos entender como manipular frações quando n cresce para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para sequências. Diz que limn to infty an = L se, para todo epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n > N, a diferença |an - L| < epsilon. Ou seja, a gente quer mostrar que 2nn+1 fica tão perto de 2 quanto a gente quiser quando n for grande.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos que |2nn+1 - 2| < epsilon. Vamos simplificar essa expressão:
|2nn+1 - 2| = |2n - 2(n+1)n+1| = |2n - 2n - 2n+1| = |-2n+1| = 2n+1
Então, precisamos que 2n+1 < epsilon.

Passo 4

Para garantir que 2n+1 < epsilon, vamos resolver para n:
2n+1 < epsilon Rightarrow n+1 > 2epsilon Rightarrow n > 2epsilon - 1
Então, se escolhermos N como sendo qualquer número maior que 2epsilon - 1, a condição será satisfeita.

Passo 5

Resumindo, para qualquer epsilon > 0, podemos escolher N = 2epsilon. Assim, para todo n > N, teremos:
|2nn+1 - 2| < epsilon
Isso mostra que o limite de 2nn+1 quando n tende ao infinito é realmente 2.

Resposta

Portanto, lim n infty 2nn+1 = 2 está comprovado pela definição formal de limite.

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