Demonstre os itens a seguir, supondo que S e E satisfazem a condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
integralegral dupla Dn f d S=integralegral triplaE nabla^2 f d V., onde Dn f=nabla f cdot n e n é o normal à superfície.

Passo 1

Resumo do que queremos mostrar e conteúdo usado. Temos uma função escalar f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em EsubsetR^3 e sua fronteira suave S=partial E. O objetivo é provar que
integral duplaSDnf,dS ;=;integral triplaEnabla^2f,dV,
onde Dnf=nabla fcdot n e n é o vetor normal externo unitário a S. Vamos usar o Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss) aplicado a um campo vetorial adequadamente escolhido.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = nabla f,
isto é, F(x,y,z) = l(fx(x,y,z),,fy(x,y,z),,fz(x,y,z)r). Como f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, cada componente de F é de classe C^1, o que garante as hipóteses do Teorema do Divergente.

Passo 3

Observamos que na superfície S vale
Fcdot n ;=;(nabla f)cdot n ;=;Dnf
Portanto, a integral de superfície do fluxo de F por S é exatamente
integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral duplaSDnf,dS
Pelo Teorema do Divergente, temos
integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral triplaEdiv F,dV

Passo 4

Basta calcular a divergência de F. Por definição,
div F ;=;partialpartial x(fx) +partialpartial y(fy) +partialpartial z(fz) ;=;nabla^2f
Substituindo na igualdade do Teorema do Divergente obtém-se
integral duplaSDnf,dS ;=; integral triplaEdiv F,dV ;=; integral triplaEnabla^2f,dV

Resposta

integral duplaSDnf,dS = integral triplaEnabla^2f,dV

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