Demonstre os itens a seguir, supondo que
e
satisfazem a condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
., onde
e
é o normal à superfície.
Passo 1
Resumo do que queremos mostrar e conteúdo usado. Temos uma função escalar
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
e sua fronteira suave
. O objetivo é provar que
onde
e
é o vetor normal externo unitário a
. Vamos usar o Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss) aplicado a um campo vetorial adequadamente escolhido.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
isto é,
. Como
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, cada componente de
é de classe
, o que garante as hipóteses do Teorema do Divergente.
Passo 3
Observamos que na superfície
vale
Portanto, a integral de superfície do fluxo de
por
é exatamente
Pelo Teorema do Divergente, temos
Passo 4
Basta calcular a divergência de
. Por definição,
Substituindo na igualdade do Teorema do Divergente obtém-se