Determine o polinômio de Taylor, de ordem 11, de g(x)=arctan x em volta de x0=0.
(Sugestão: arctan x=integral0^x 11+t^2 d t e utilize o Exercício 5 )

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 11 de
g(x)=arctan x
em torno de x0=0. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências de tfrac11+t^2 e integração termo a termo, já que
arctan x=integral0^x11+t^2,dt

Passo 2

Recordando a série geométrica, para |u|<1 vale
11+u=sumk=0^infty(-1)^ku^k
Fazendo u=t^2 obtemos
11+t^2=sumk=0^infty(-1)^kt^2k

Passo 3

Como queremos o polinômio de grau 11, precisamos de termos em t^m até m=10 na integranda (pois ao integrar sobra x^11). Portanto truncamos em k=5:
11+t^2 =sumk=0^5(-1)^kt^2k+O(t^12)

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a x:
arctan x =integral0^x11+t^2,dt =sumk=0^5(-1)^kintegral0^xt^2kdt+O(x^13) =sumk=0^5(-1)^kx^2k+12k+1+O(x^13)

Passo 5

O trecho polinomial de grau até 11 é
x-x^33+x^55-x^77+x^99-x^1111

Resposta

x - x^33 + x^55 - x^77 + x^99 - x^1111

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