A integral integral12^2 d xx raiz4-x^2 converge e seu valor é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de 1x raiz4 - x^2 de x = 12 até x = 2. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente substituições trigonométricas que ajudam a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos 4 - x^2. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, porque expressões do tipo a^2 - x^2 costumam ser simplificadas com senos ou cossenos. Vamos escolher x = 2 sin theta. Essa escolha funciona bem porque 4 - x^2 = 4 - 4sin^2 theta = 4cos^2 theta, facilitando a raiz.

Passo 3

Agora, vamos derivar x = 2 sin theta para encontrar dx:
dx = 2 cos theta , dtheta
Substituindo x e dx na integral, temos:
integral12^2 dxx raiz4 - x^2 = integraltheta1^theta2 2 cos theta , dtheta2 sin theta cdot 2 cos theta = integraltheta1^theta2 dtheta2 sin theta

Passo 4

Simplificando a integral, ficamos com:
12 integral csc theta , dtheta
Aqui, usamos a identidade trigonométrica csc theta = 1sin theta. A integral de csc theta é conhecida e vale -ln |csc theta + cot theta| + C.

Passo 5

Aplicando a integral, temos:
12 ( -ln |csc theta + cot theta| ) + C = -12 ln |csc theta + cot theta| + C
Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 2 sin theta, então:
csc theta = 1sin theta = 2x e cot theta = cos thetasin theta = raiz4 - x^2x
Substituindo esses valores, a expressão fica:
-12 ln ( 2x + raiz4 - x^2x ) + C = -12 ln ( 2 + raiz4 - x^2x ) + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de x = 12 até x = 2.
Para x = 2:
raiz4 - 2^2 = raiz0 = 0
Então,
-12 ln ( 2 + 02 ) = -12 ln(1) = 0
Para x = 12:
raiz4 - (12)^2 = raiz154 = raiz152
Então,
-12 ln ( 2 + raiz15212 ) = -12 ln ( 4 + raiz15 )
A integral definida é a diferença entre esses valores:
0 - ( -12 ln (4 + raiz15) ) = 12 ln (4 + raiz15)

Resposta

O valor da integral é 12 ln (4 + raiz15).

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