A integral
converge e seu valor é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de
de
até
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente substituições trigonométricas que ajudam a simplificar integrais envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, observamos que dentro da raiz temos
. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, porque expressões do tipo
costumam ser simplificadas com senos ou cossenos. Vamos escolher
. Essa escolha funciona bem porque
, facilitando a raiz.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 4
Simplificando a integral, ficamos com:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
. A integral de
é conhecida e vale
.
Passo 5
Aplicando a integral, temos:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Substituindo esses valores, a expressão fica:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
até
.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
A integral definida é a diferença entre esses valores:
Resposta
O valor da integral é
.