Seja f(x)=11+x^2.
Mostre que a função E(x) dada por
11+x^2=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^10+E(x)
é contínua em R.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=11+x^2
e definimos E(x) pela identidade
11+x^2 =1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^10 + E(x)
O objetivo é mostrar que E(x) é contínua em R. Para isso, basta obter uma expressão fechada para E(x) e verificar que ela é uma função racional cujo denominador não se anula.

Passo 2

Isolamos E(x) subtraindo o polinômio dos dois lados:
E(x) =11+x^2 -l(1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^10r)
Colocando em denominação comum:
E(x) =1 - l(1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^10r),(1+x^2)1+x^2
Observe que
l(1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^10r),(1+x^2) =1 - x^12,
pois todos os termos intermediários se cancelam em pares. Logo,
E(x) =1 - (1 - x^12)1+x^2 =x^121+x^2

Passo 3

A função
E(x)=x^121+x^2
é uma razão de polinômios cujo denominador 1+x^2 nunca se anula em R. Polinômios são contínuos e a divisão por uma função contínua não nula preserva a continuidade.

Resposta

E(x)=x^121+x^2,
que é contínua em R.

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