Demonstre a lei do deslocamento de Wien a partir da fórmula de Planck para a radiação do corpo negro.
- Fórmula de Planek:
- Lei do deslocamento de Wien: Jmáx
#Tem equagāo transcendental, não vai cair.
#Tem equagāo transcendental, não vai cair.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a frequência na qual a densidade espectral de energia de um corpo negro atinge o máximo é proporcional à temperatura, ou seja, demonstrar a lei do deslocamento de Wien a partir da fórmula de Planck. Vamos usar cálculo de extremos de função aplicado à densidade espectral de energia.
Passo 2
Escrevemos a densidade espectral de Planck em função da frequência
:
onde
é a constante de Planck,
a velocidade da luz e
a constante de Boltzmann. Note que
depende de
multiplicado por um fator que contém
no expoente.
Passo 3
Para simplificar, definimos a variável adimensional
e reescrevemos
Os fatores externos a
são constantes em relação a
, portanto basta maximizar
Passo 4
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Dividindo por
e rearranjando, obtemos a equação transcendental
Sua solução numérica é
Logo
Passo 5
Concluímos que a frequência de pico é
ou seja,
que é exatamente a lei do deslocamento de Wien.