Demonstre a lei do deslocamento de Wien a partir da fórmula de Planck para a radiação do corpo negro.
  • Fórmula de Planek: rho(v)=8 pi hc^3 cdot v^3e^h v/ R B cdot T-1
  • Lei do deslocamento de Wien: Jmáx propto T
    #Tem equagāo transcendental, não vai cair.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a frequência na qual a densidade espectral de energia de um corpo negro atinge o máximo é proporcional à temperatura, ou seja, demonstrar a lei do deslocamento de Wien a partir da fórmula de Planck. Vamos usar cálculo de extremos de função aplicado à densidade espectral de energia.

Passo 2

Escrevemos a densidade espectral de Planck em função da frequência nu:
rho(nu) ;=; 8pi hc^3,nu^3e^hnukB T - 1,
onde h é a constante de Planck, c a velocidade da luz e kB a constante de Boltzmann. Note que rho(nu) depende de nu^3 multiplicado por um fator que contém T no expoente.

Passo 3

Para simplificar, definimos a variável adimensional
x = hnukB T
e reescrevemos
rho(nu) = 8pi hc^3,l(kB Thr)^!3 x^3e^x - 1
Os fatores externos a tfracx^3e^x-1 são constantes em relação a nu, portanto basta maximizar
phi(x) = x^3e^x - 1

Passo 4

Calculamos a derivada de phi(x) e igualamos a zero:
dphidx = 3x^2,(e^x - 1);-;x^3,e^x(e^x - 1)^2 = 0 Longrightarrow 3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x = 0
Dividindo por x^2 e rearranjando, obtemos a equação transcendental
(3 - x),e^x = 3
Sua solução numérica é
x0 approx 2,821439
Logo
numax = kB Th,x0 approx 2,821439,kBh,T

Passo 5

Concluímos que a frequência de pico é
numax = constantetimes T,
ou seja,
numaxpropto T,
que é exatamente a lei do deslocamento de Wien.

Resposta

numaxpropto T

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