Mostre que, para lambda muito grande, a expressão obtida por Planck para distribuição espectral de um corpo negro se aproxima da fórmula de Rayleigh-Jeans.
  • Distribuiçāo de Planck: rho(nu)=8 pi hc^3 nu^3e^h / kB cdot T-1, nu=clambda
  • Para lambda gg 1 nu ll 1 longrightarrow expandimos em série de Taylor: f(x)=e^x=f(0)+x cdot f^prime(0)+ldots=1+x+cdots
lfloorrho(v)=8 pi hc^3 cdot v^31+h vkB T-1=8 pi hc^3 cdot kB cdot T cdot v^3h nu ang<= e^h nu / KB cdot T=1+h nu rvert, kB cdot T
rho(nu)=8 pic^3 cdot KB cdot T cdot v^2 (fórmula de Rayleigh - Jeans)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no limite de comprimento de onda muito grande (isto é, frequência muito baixa), a distribuição de Planck converte-se na fórmula de Rayleigh–Jeans. O conteúdo da matéria é termodinâmica estatística aplicada à radiação de corpo negro. Vamos precisar usar a expansão em série de Taylor da exponencial, sabendo que para xll1 vale
e^x approx 1 + x

Passo 2

Escrevemos a lei de Planck em função da frequência nu:
rho(nu)=8pi hc^3;nu^3expl(tfrachnukBTr)-1
No limite de lambdagg1 temos null1, logo o parâmetro adimensional
x=hnukBT
é muito pequeno ( xll1).

Passo 3

Aplicamos a expansão em série de Taylor de primeira ordem em x:
exp(x)=1+x+cdots Longrightarrow expl(tfrachnukBTr)-1approx hnukBT

Passo 4

Substituindo essa aproximação no denominador de rho(nu) obtemos
rho(nu)approx 8pi hc^3;nu^3tfrachnukBT =8pi hc^3;kBT,nu^3hnu =8pic^3,kBT,nu^2,
que é exatamente a fórmula de Rayleigh–Jeans.

Resposta

rho(nu)approx 8pic^3,kBT,nu^2,
mostrando que, para lambda muito grande (ou nu muito pequena), a lei de Planck reduz-se à lei de Rayleigh–Jeans.

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