Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os:
.
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos a sequência definida por
com
. O objetivo é demonstrar que o limite dessa sequência existe e encontrar o valor desse limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e resolver a equação que define a sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência converge para um limite
. Isso significa que, conforme
tende ao infinito,
e
tendem a
. Então, podemos substituir na fórmula da sequência:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis para
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar qual dessas soluções é válida para a nossa sequência. Observamos que:
- Se
, então , mas começamos com , o que não faria sentido que a sequência tenderia a 0. - Se
, então , mantendo o limite consistente.
Portanto, o limite válido é
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
O objetivo é encontrar o valor desse limite. Este é um limite clássico que envolve a definição do número
.
Passo 6
Para resolver esse limite, reconhecemos que ele define o número de Euler, conhecido como
. A definição de
é precisamente este limite:
Passo 7
Portanto, pelo reconhecimento da definição, o valor do limite é igual a
.
Resposta
O limite é igual a
, onde
.