Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os: a_{n+1} = raiz(3 a_{n}) com a_{1} = 1.
b) Lim n -> infinito (1 + 1/n)^n

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos a sequência definida por com . O objetivo é demonstrar que o limite dessa sequência existe e encontrar o valor desse limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e resolver a equação que define a sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência converge para um limite . Isso significa que, conforme tende ao infinito, e tendem a . Então, podemos substituir na fórmula da sequência:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Passo 4

Agora, precisamos verificar qual dessas soluções é válida para a nossa sequência. Observamos que:
  • Se , então , mas começamos com , o que não faria sentido que a sequência tenderia a 0.
  • Se , então , mantendo o limite consistente.
Portanto, o limite válido é .

Passo 5

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
O objetivo é encontrar o valor desse limite. Este é um limite clássico que envolve a definição do número .

Passo 6

Para resolver esse limite, reconhecemos que ele define o número de Euler, conhecido como . A definição de é precisamente este limite:

Passo 7

Portanto, pelo reconhecimento da definição, o valor do limite é igual a .

Resposta

O limite é igual a , onde .

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