Se
é um número inteiro positivo, mostre que
.
7. Encontre uma expressão geral para a derivada de ordem
das funções
a)
7. Encontre uma expressão geral para a derivada de ordem
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 7a juntos! A pergunta pede para encontrar uma expressão geral para a derivada de ordem
da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm potências negativas e como aplicar a regra de derivação múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. A função
pode ser escrita como
. Isso é útil porque sabemos como derivar funções com expoentes negativos usando a regra do poder.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como derivar funções do tipo
, onde
é um número real. A regra do poder para derivadas nos diz que:
Essa regra será a base para encontrar a derivada de ordem
.
Passo 4
Para encontrar a derivada de ordem
, precisamos aplicar a regra do poder repetidamente. Cada vez que derivamos, o expoente diminui em 1 e multiplicamos pelo novo expoente. Observemos o padr��o:
- Primeira derivada (
):
- Segunda derivada (
):
- Terceira derivada (
):
Perceba que o coeficiente envolve fatoriais e sinais alternados.
Passo 5
Com base no padrão observado, podemos generalizar a
-ésima derivada. Cada derivada traz um fator de
e multiplica pelo número correspondente à ordem da derivada. Portanto, a expressão geral para a derivada de ordem
é:
Resposta
A expressão geral para a derivada de ordem
da função
é: