Se r é um número inteiro positivo, mostre que lim n infty 1r^n=0.
7. Encontre uma expressão geral para a derivada de ordem n das funções
a) f(x)=11+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 7a juntos! A pergunta pede para encontrar uma expressão geral para a derivada de ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm potências negativas e como aplicar a regra de derivação múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. A função pode ser escrita como . Isso é útil porque sabemos como derivar funções com expoentes negativos usando a regra do poder.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como derivar funções do tipo ddx (1 + x)^k = k cdot (1 + x)^k-1 , onde é um número real. A regra do poder para derivadas nos diz que:
Essa regra será a base para encontrar a derivada de ordem .

Passo 4

Para encontrar a derivada de ordem f'(x) = -1 cdot (1 + x)^-2 , precisamos aplicar a regra do poder repetidamente. Cada vez que derivamos, o expoente diminui em 1 e multiplicamos pelo novo expoente. Observemos o padr��o:
  • Primeira derivada ( f''(x) = (-1) cdot (-2) cdot (1 + x)^-3 = 2 cdot (1 + x)^-3 ):
f'''(x) = 2 cdot (-3) cdot (1 + x)^-4 = -6 cdot (1 + x)^-4
  • Segunda derivada ( ):
  • Terceira derivada ( ):
Perceba que o coeficiente envolve fatoriais e sinais alternados.

Passo 5

Com base no padrão observado, podemos generalizar a f^(n)(x) = (-1)^n cdot n! cdot (1 + x)^-(n + 1) -ésima derivada. Cada derivada traz um fator de e multiplica pelo número correspondente à ordem da derivada. Portanto, a expressão geral para a derivada de ordem é:

Resposta

A expressão geral para a derivada de ordem f^(n)(x) = (-1)^n cdot n!(1 + x)^n+1 da função é:

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