Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os:
.
9. Mostre que a sequência
é limitada, mas não é convergente.
9. Mostre que a sequência
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos dois exercícios para resolver. No primeiro, precisamos demonstrar que o limite da sequência
existe quando
tende ao infinito. Isso envolve o estudo de limites em sequências, uma parte importante do cálculo. Vamos usar propriedades de limites e funções exponenciais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Quando
cresce,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Mas como isso afeta a expressão inteira?
Passo 3
Para entender o comportamento de
quando
tende ao infinito, sabemos que isso se relaciona com a definição do número
, a base dos logaritmos naturais. A definição de
é justamente esse limite:
Passo 4
Então, reconhecendo que a sequência dada é exatamente a definição de
, sabemos que o limite existe e é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo exercício. Precisamos mostrar que a sequência , para
, é limitada, mas não é convergente. Isso envolve entender o comportamento das funções seno e cosseno e como elas se combinam em uma sequência.
Passo 6
Primeiro, vamos analisar os termos individuais da sequência. Vamos observar como e
se comportam para diferentes valores de
.
Passo 7
Sabemos que:
-
alterna entre 1 e -1 conforme varia, já que . - também varia com
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: , e assim por diante.
- Para
Passo 8
Agora, vamos combinar essas duas partes para ver os valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 9
Observamos que os valores de
oscilam entre -2, 0 e 1. Isso significa que a sequência está sempre dentro desse intervalo e, portanto, é limitada.
Passo 10
No entanto, como os valores não se estabilizam em um único número e continuam oscilando indefinidamente, a sequência não converge para um limite específico.
Resposta
A sequência é limitada, já que seus valores estão sempre entre -2 e 1, mas não é convergente porque não se aproxima de nenhum valor único à medida que
cresce.