Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os: Lim n -> infinito (1 + 1/n)^n.
9. Mostre que a sequência a_n = sen(n pi / 2) + cos(n pi), n in N é limitada, mas não é convergente.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos dois exercícios para resolver. No primeiro, precisamos demonstrar que o limite da sequência existe quando tende ao infinito. Isso envolve o estudo de limites em sequências, uma parte importante do cálculo. Vamos usar propriedades de limites e funções exponenciais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Quando cresce, fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Mas como isso afeta a expressão inteira?

Passo 3

Para entender o comportamento de quando tende ao infinito, sabemos que isso se relaciona com a definição do número , a base dos logaritmos naturais. A definição de é justamente esse limite:

Passo 4

Então, reconhecendo que a sequência dada é exatamente a definição de , sabemos que o limite existe e é igual a .

Passo 5

Agora, vamos para o segundo exercício. Precisamos mostrar que a sequência , para , é limitada, mas não é convergente. Isso envolve entender o comportamento das funções seno e cosseno e como elas se combinam em uma sequência.

Passo 6

Primeiro, vamos analisar os termos individuais da sequência. Vamos observar como e se comportam para diferentes valores de .

Passo 7

Sabemos que:
  • alterna entre 1 e -1 conforme varia, já que .
  • também varia com :
    • Para :
    • Para :
    • Para :
    • Para : , e assim por diante.

Passo 8

Agora, vamos combinar essas duas partes para ver os valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Observamos que os valores de oscilam entre -2, 0 e 1. Isso significa que a sequência está sempre dentro desse intervalo e, portanto, é limitada.

Passo 10

No entanto, como os valores não se estabilizam em um único número e continuam oscilando indefinidamente, a sequência não converge para um limite específico.

Resposta

A sequência é limitada, já que seus valores estão sempre entre -2 e 1, mas não é convergente porque não se aproxima de nenhum valor único à medida que cresce.

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