Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) de duas sequências. O conteúdo aqui é da área de análise de sequências, onde vamos precisar entender como cada termo da sequência se comporta conforme os números ficam maiores. Para resolver isso, vamos analisar os termos das sequências e ver para onde eles estão indo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira sequência:
.
Primeiro, vamos entender o que essa sequência faz. Quando aumentamos o valor de
, o termo
cresce muito mais rápido que
, mas como tem um sinal negativo na frente, toda a expressão fica cada vez menor.
Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Vemos que conforme
aumenta,
fica cada vez menor, indo para menos infinito.
Então:
- O supremo (sup) é o maior valor que a sequência atinge. Aqui, o maior valor é quando
, que é 0. - O ínfimo (inf) é o menor valor que a sequência atinge. Como
vai indo para menos infinito, o ínfimo é .
Passo 3
Agora vamos para a segunda sequência:
.
Vamos analisar como essa sequência se comporta quando
aumenta.
Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Observamos que conforme
cresce, o denominador
fica cada vez maior, fazendo com que
fique cada vez menor, aproximando-se de 0, mas sem nunca chegar exatamente a 0.
Então:
- O supremo (sup) é o maior valor que a sequência atinge, que é quando
, ou seja, 1. - O ínfimo (inf) é o menor valor que a sequência se aproxima, que é 0. Embora a sequência chegue cada vez mais perto de 0, ela nunca atinge exatamente esse valor.
Resposta
a) O supremo de
é 0 e o ínfimo é
.
b) O supremo de
é 1 e o ínfimo é 0.