Determine o sup e o inf das seguintes sequências: a_n = -n^2 + n.
b) b_n = 2/(5n - 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) de duas sequências. O conteúdo aqui é da área de análise de sequências, onde vamos precisar entender como cada termo da sequência se comporta conforme os números ficam maiores. Para resolver isso, vamos analisar os termos das sequências e ver para onde eles estão indo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira sequência: .
Primeiro, vamos entender o que essa sequência faz. Quando aumentamos o valor de , o termo cresce muito mais rápido que , mas como tem um sinal negativo na frente, toda a expressão fica cada vez menor.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Vemos que conforme aumenta, fica cada vez menor, indo para menos infinito.
Então:
  • O supremo (sup) é o maior valor que a sequência atinge. Aqui, o maior valor é quando , que é 0.
  • O ínfimo (inf) é o menor valor que a sequência atinge. Como vai indo para menos infinito, o ínfimo é .

Passo 3

Agora vamos para a segunda sequência: .
Vamos analisar como essa sequência se comporta quando aumenta.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Observamos que conforme cresce, o denominador fica cada vez maior, fazendo com que fique cada vez menor, aproximando-se de 0, mas sem nunca chegar exatamente a 0.
Então:
  • O supremo (sup) é o maior valor que a sequência atinge, que é quando , ou seja, 1.
  • O ínfimo (inf) é o menor valor que a sequência se aproxima, que é 0. Embora a sequência chegue cada vez mais perto de 0, ela nunca atinge exatamente esse valor.

Resposta

a) O supremo de é 0 e o ínfimo é .
b) O supremo de é 1 e o ínfimo é 0.

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