Encontre uma expressão geral para a derivada de ordem n das funções f(x) = ln(1+x).
8. Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os:
a) a_{n+1} = raiz(3 a_{n}) com a_{1} = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma sequência definida por com . Nosso objetivo é mostrar que o limite dessa sequência existe e descobrir qual é esse limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de sequências, limites e propriedades de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta. Começando com :
Parece que os termos da sequência estão aumentando e se aproximando de um valor.

Passo 3

Vamos supor que a sequência converge para um limite . Se a sequência converge, então também converge para . Assim, podemos substituir na relação recorrente:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, os possíveis limites são 0 ou 3.

Passo 4

Agora, precisamos verificar qual desses limites é válido para nossa sequência. Observamos que os termos calculados estão todos positivos e maiores que zero, indo de 1 para valores maiores até se aproximarem de 3. Portanto, não faz sentido nesse contexto, já que a sequência não tende a zero.

Passo 5

Para confirmar que a sequência realmente converge para 3, vamos mostrar que ela é crescente e limitada acima por 3. Se uma sequência é monótona crescente e está limitada, ela converge para o seu limite superior.
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente:
Queremos mostrar que . Assumindo que , temos:
Como queremos que seja sempre menor que 3, a sequência será crescente enquanto .

Passo 6

Em seguida, vamos mostrar que a sequência está limitada acima por 3. Se assumirmos que , então:
Portanto, se , então . Já sabemos que , então por indução, todos os termos da sequência serão menores que 3.

Passo 7

Como a sequência é crescente e está limitada acima por 3, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge. E já vimos que o único limite possível dentro dessas condições é 3.

Resposta

O limite da sequência definida por com existe e é igual a 3.

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