Encontre uma expressão geral para a derivada de ordem
das funções
.
8. Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os:
a)
8. Demonstre que os limites das seguintes sequências existem e encontre-os:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma sequência definida por
com
. Nosso objetivo é mostrar que o limite dessa sequência existe e descobrir qual é esse limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de sequências, limites e propriedades de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta. Começando com
:
Parece que os termos da sequência estão aumentando e se aproximando de um valor.
Passo 3
Vamos supor que a sequência converge para um limite
. Se a sequência converge, então
também converge para
. Assim, podemos substituir na relação recorrente:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, os possíveis limites são 0 ou 3.
Passo 4
Agora, precisamos verificar qual desses limites é válido para nossa sequência. Observamos que os termos calculados estão todos positivos e maiores que zero, indo de 1 para valores maiores até se aproximarem de 3. Portanto,
não faz sentido nesse contexto, já que a sequência não tende a zero.
Passo 5
Para confirmar que a sequência realmente converge para 3, vamos mostrar que ela é crescente e limitada acima por 3. Se uma sequência é monótona crescente e está limitada, ela converge para o seu limite superior.
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente:
Queremos mostrar que
. Assumindo que
, temos:
Como queremos que
seja sempre menor que 3, a sequência será crescente enquanto
.
Passo 6
Em seguida, vamos mostrar que a sequência está limitada acima por 3. Se assumirmos que
, então:
Portanto, se
, então
. Já sabemos que
, então por indução, todos os termos da sequência serão menores que 3.
Passo 7
Como a sequência é crescente e está limitada acima por 3, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge. E já vimos que o único limite possível dentro dessas condições é 3.
Resposta
O limite da sequência definida por
com
existe e é igual a 3.