Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) da sequência
.
Conteúdo da matéria: Estamos falando sobre sequências numéricas e seus limites superiores e inferiores, conhecidos como supremo e ínfimo. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função logaritmo natural
conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como a sequência
se comporta conforme
aumenta.
Sabemos que o logaritmo natural
é uma função que cresce sem limites conforme
aumenta. Ou seja, à medida que
fica maior,
também fica maior.
Passo 3
Agora, vamos pensar no ínfimo da sequência. O ínfimo é o menor valor que a sequência atinge ou se aproxima.
Para
, temos:
Como
não pode ser menor que 1 (porque estamos falando de índices naturais), o menor valor que
atinge é 0. Portanto, o ínfimo é 0.
Passo 4
Em relação ao supremo, que é o maior valor que a sequência pode alcançar ou se aproximar, observamos que conforme
cresce,
também cresce sem limites. Isso significa que não há um valor máximo finito para
; ele pode ficar tão grande quanto quisermos.
Portanto, o supremo da sequência é infinito.
Resposta
Para a sequência
, temos:
- Ínfimo (inf):
- Supremo (sup):