Demonstre que: e^{\ln x}=x.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que e^{\ln x}=x.
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas) que vou usar:
  • A expressão \ln x só está definida para x>0.
  • A função exponencial natural t\mapsto e^{t} é uma função bem conhecida que toma argumentos reais e retorna números positivos.
  • Preciso mostrar que, para todo x>0, a composição da exponencial com o logaritmo natural volta ao número x.

Passo 2

Explicar o que significa dizer que \ln é a “inversa” de e^{(\cdot)}.
  • Uma função f tem função inversa f^{-1} quando, ao aplicar f e depois f^{-1}, volta-se ao valor inicial: isto é, f^{-1}(f(t))=t para todo t no domínio de f.
  • A função exponencial natural é a função
f:\mathbb{R}\to(0,\infty),\qquad f(t)=e^{t}.
  • Diz-se que f é bijetora (injeta e sobrejetora) quando é estritamente crescente, contínua, e satisfaz \lim_{t\to-\infty}e^{t}=0 e \lim_{t\to+\infty}e^{t}=+\infty. Essas propriedades implicam que f assinala, de maneira única, cada y>0 a um único t\in\mathbb{R}.
  • A função \ln:(0,\infty)\to\mathbb{R} é definida como a inversa de f. Por isso, por definição de inversa vale, para todo y\in\mathbb{R} e todo x>0,
\ln(e^{y})=y \qquad\text{e}\qquad e^{\ln x}=x.
Aqui a segunda igualdade é exatamente o que desejamos demonstrar; nos passos seguintes eu a explico com mais nitidez.

Passo 3

Demonstração direta usando a definição de inversa (forma simples e mais comum).
  • Tome um x>0. Defina y=\ln x. Pela definição de \ln como inversa de e^{(\cdot)}, a relação entre x e y é
e^{y}=x.
  • Substituindo y=\ln x obtemos
e^{\ln x}=x.
Isso conclui a demonstração para todo x>0. É um argumento curto porque a igualdade é precisamente a propriedade de ser função inversa.

Passo 4

Uma explicação mais didática do porquê isso faz sentido (sem formalismos técnicos demais).
  • Pensar em \ln como “o número que, quando colocado como expoente de e, dá x”. Ou seja, \ln x responde à pergunta: “qual é o número y tal que e^{y}=x?” Assim, e^{\ln x} significa “pegar esse número y e calcular e^{y}”, e naturalmente isso retorna x.
  • Atenção ao domínio: não existe \ln x para x\le 0, por isso a igualdade só faz sentido e é verdadeira para x>0.

Passo 5

Uma demonstração alternativa (mais analítica) usando derivadas — útil se a definição de \ln que se estudou foi via integral. (Só leia se já viu derivadas; senão ignore este passo sem problema.)
  • Defina g(x)=e^{\ln x} para x>0. Usando a regra da cadeia e (\ln x)'=1/x tem-se
g'(x)=e^{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{g(x)}{x}.
  • Isso é uma equação diferencial simples: \dfrac{g'(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{x}. Integrando ambos os lados em x \ln g(x)=\ln x + C, logo g(x)=C x. Avaliando em x=1: g(1)=e^{\ln 1}=e^{0}=1, então C=1. Assim g(x)=x para todo x>0. Portanto e^{\ln x}=x.
  • Essa via mostra o mesmo resultado sem assumir a propriedade de inversa como ponto de partida; em vez disso usa propriedades calculus do \ln e do exponencial.

Passo 6

Observações finais e encorajamento.
  • Conclusão: para todo x>0 vale \,e^{\ln x}=x.
  • A igualdade é a expressão da relação inversa entre exponencial e logaritmo natural. Pegue esse resultado como uma ferramenta de prova rápida em muitas questões — é uma daquelas identidades que aparecem sempre que se manipula exponenciais e logaritmos. Você já chegou longe — continue praticando que isso vai ficar automático!

Resposta

e^{\ln x}=x para todo x>0.

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