Demonstre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que
.
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas) que vou usar:
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas) que vou usar:
- A expressão
só está definida para . - A função exponencial natural
é uma função bem conhecida que toma argumentos reais e retorna números positivos. - Preciso mostrar que, para todo
, a composição da exponencial com o logaritmo natural volta ao número .
Passo 2
Explicar o que significa dizer que
é a “inversa” de
.
- Uma função
tem função inversa quando, ao aplicar e depois , volta-se ao valor inicial: isto é, para todo no domínio de . - A função exponencial natural é a função
- Diz-se que
é bijetora (injeta e sobrejetora) quando é estritamente crescente, contínua, e satisfaz e . Essas propriedades implicam que assinala, de maneira única, cada a um único . - A função
é definida como a inversa de . Por isso, por definição de inversa vale, para todo e todo ,
Aqui a segunda igualdade é exatamente o que desejamos demonstrar; nos passos seguintes eu a explico com mais nitidez.
Passo 3
Demonstração direta usando a definição de inversa (forma simples e mais comum).
- Tome um
. Defina . Pela definição de como inversa de , a relação entre e é
- Substituindo
obtemos
Isso conclui a demonstração para todo
. É um argumento curto porque a igualdade é precisamente a propriedade de ser função inversa.
Passo 4
Uma explicação mais didática do porquê isso faz sentido (sem formalismos técnicos demais).
- Pensar em
como “o número que, quando colocado como expoente de , dá ”. Ou seja, responde à pergunta: “qual é o número tal que ?” Assim, significa “pegar esse número e calcular ”, e naturalmente isso retorna . - Atenção ao domínio: não existe
para , por isso a igualdade só faz sentido e é verdadeira para .
Passo 5
Uma demonstração alternativa (mais analítica) usando derivadas — útil se a definição de
que se estudou foi via integral. (Só leia se já viu derivadas; senão ignore este passo sem problema.)
- Defina
para . Usando a regra da cadeia e tem-se
- Isso é uma equação diferencial simples:
. Integrando ambos os lados em dá , logo . Avaliando em : , então . Assim para todo . Portanto . - Essa via mostra o mesmo resultado sem assumir a propriedade de inversa como ponto de partida; em vez disso usa propriedades calculus do
e do exponencial.
Passo 6
Observações finais e encorajamento.
- Conclusão: para todo
vale . - A igualdade é a expressão da relação inversa entre exponencial e logaritmo natural. Pegue esse resultado como uma ferramenta de prova rápida em muitas questões — é uma daquelas identidades que aparecem sempre que se manipula exponenciais e logaritmos. Você já chegou longe — continue praticando que isso vai ficar automático!