Valendo-se do ciclo trigonométrico, demonstre as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede demonstrar, valendo-se do ciclo trigonométrico (o círculo trigonométrico), as seguintes igualdades:
Informações dadas / usadas (chave para a demonstração):
- No círculo trigonométrico (raio
), o ponto correspondente ao ângulo medido a partir do eixo positivo tem coordenadas . - Os valores de seno e cosseno para ângulos especiais:
, , , . - Pode-se usar relações geométricas no triângulo retângulo inscrito no círculo e simetrias do círculo (reflexões em eixos) para justificar as igualdades.
Passo 2
Explicar a ideia geométrica fundamental (a “aula rápida” antes de entrar nas provas):
- Em um triângulo retângulo inscrito no círculo de raio
com ângulo agudo , os catetos medem (adjacente ao ângulo) e (oposto ao ângulo), porque a hipotenusa tem comprimento . Assim, quando se troca o ângulo por o seu complementar , o que era cateto adjacente passa a ser o cateto oposto e vice-versa; portanto as medidas se trocam. - Simetrias no círculo: refletir um ponto em torno do eixo
troca o sinal da abscissa (cosseno) e mantém a ordenada (seno). Refletir em torno do eixo troca o sinal da ordenada e mantém a abscissa. - As fórmulas de adição para ângulos especiais também são úteis e simples porque os senos/cossenos desses especiais valem
; por exemplo, usar com é direto porque .
Passo 3
Demonstração de
.
Raciocínio geométrico (complementaridade):
- Considere o triângulo retângulo inscrito no círculo de raio
com ângulo agudo . Nesse triângulo, por definição,
como fração da hipotenusa (que vale
).
- Para o ângulo complementar
, o que era cateto oposto para passa a ser o cateto adjacente para . Portanto o cosseno do ângulo complementar vale exatamente o seno de . Em notação:
Isto é exatamente a identidade pedida.
Passo 4
Demonstração de
.
Usando a mesma ideia do passo anterior, trocando o papel dos catetos:
- Pelo argumento de complementaridade do triângulo, o seno do ângulo complementar é o cateto oposto a
, que coincide com o cateto adjacente a , isto é . Logo:
Passo 5
Demonstração de
e de
.
Aqui é conveniente usar as fórmulas de adição com os valores especiais de seno/cosseno de
.
Primeiro calcule
usando a fórmula de cosseno da soma:
Tomando
e
, e lembrando que
e
, obtemos
Assim está demonstrada
, que é equivalente a
.
Agora calcule
usando a fórmula do seno da soma:
Com
e
:
Logo
, que é a identidade pedida.
(Geometricamente: o ângulo
está no quadrante onde a abscissa é
e a ordenada é
; a adição de
troca e possivelmente muda sinal dos catetos.)
Passo 6
Demonstração de
.
Geometria / reflexão:
- O ângulo
é o suplemento de ; no círculo trigonométrico ele é a reflexão do ponto correspondente a em torno do eixo . Essa reflexão mantém a ordenada (o valor de seno) e troca o sinal da abscissa (o cosseno). - Portanto os dois ângulos têm a mesma ordenada, isto é:
Também se pode ver pela fórmula do seno da diferença:
Passo 7
Demonstração de
.
Usando a fórmula do cosseno da soma com
e
:
Como
e
, resulta
Geometricamente, o ângulo
é obtido girando
além de
; isso coloca o ponto na posição oposta ao de
em relação à origem no eixo
, invertendo o sinal da abscissa (cosseno).