Valendo-se do ciclo trigonométrico, demonstre as seguintes propriedades:
\begin{aligned} & \sin (t)=\cos (\pi / 2-t) \\\ & \cos (t)=\sin (\pi / 2-t) \\\ & -\sin (t)=\cos (\pi / 2+t) \\\ & \cos (t)=\operatorname{sen}(\pi / 2+t) \\\ & \sin (t)=\sin (\pi-t) \\\ & -\cos (t)=\cos (\pi+t) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede demonstrar, valendo-se do ciclo trigonométrico (o círculo trigonométrico), as seguintes igualdades:
\begin{aligned} & \sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)\\\ & \cos(t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)\\\ & -\sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)\\\ & \cos(t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)\\\ & \sin(t)=\sin(\pi-t)\\\ & -\cos(t)=\cos(\pi+t) \end{aligned}
Informações dadas / usadas (chave para a demonstração):
  • No círculo trigonométrico (raio 1), o ponto correspondente ao ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo tem coordenadas \big(\cos(\theta),\\ \sin(\theta)\big).
  • Os valores de seno e cosseno para ângulos especiais: \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, \sin(\pi)=0, \cos(\pi)=-1.
  • Pode-se usar relações geométricas no triângulo retângulo inscrito no círculo e simetrias do círculo (reflexões em eixos) para justificar as igualdades.

Passo 2

Explicar a ideia geométrica fundamental (a “aula rápida” antes de entrar nas provas):
  • Em um triângulo retângulo inscrito no círculo de raio 1 com ângulo agudo t, os catetos medem \cos(t) (adjacente ao ângulo) e \sin(t) (oposto ao ângulo), porque a hipotenusa tem comprimento 1. Assim, quando se troca o ângulo por o seu complementar \tfrac{\pi}{2}-t, o que era cateto adjacente passa a ser o cateto oposto e vice-versa; portanto as medidas se trocam.
  • Simetrias no círculo: refletir um ponto em torno do eixo y troca o sinal da abscissa (cosseno) e mantém a ordenada (seno). Refletir em torno do eixo x troca o sinal da ordenada e mantém a abscissa.
  • As fórmulas de adição para ângulos especiais também são úteis e simples porque os senos/cossenos desses especiais valem 0,\pm1; por exemplo, usar \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta com \alpha=\tfrac{\pi}{2} é direto porque \cos\tfrac{\pi}{2}=0,\\ \sin\tfrac{\pi}{2}=1.

Passo 3

Demonstração de \sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right).
Raciocínio geométrico (complementaridade):
  • Considere o triângulo retângulo inscrito no círculo de raio 1 com ângulo agudo t. Nesse triângulo, por definição,
\cos(t)=\text{cateto adjacente ao ângulo }t,\qquad \sin(t)=\text{cateto oposto ao ângulo }t,ââ
como fração da hipotenusa (que vale 1).
  • Para o ângulo complementar \tfrac{\pi}{2}-t, o que era cateto oposto para t passa a ser o cateto adjacente para \tfrac{\pi}{2}-t. Portanto o cosseno do ângulo complementar vale exatamente o seno de t. Em notação:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\sin(t).
Isto é exatamente a identidade pedida.

Passo 4

Demonstração de \cos(t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right).
Usando a mesma ideia do passo anterior, trocando o papel dos catetos:
  • Pelo argumento de complementaridade do triângulo, o seno do ângulo complementar é o cateto oposto a \tfrac{\pi}{2}-t, que coincide com o cateto adjacente a t, isto é \cos(t). Logo:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\cos(t).

Passo 5

Demonstração de -\sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right) e de \cos(t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right).
Aqui é conveniente usar as fórmulas de adição com os valores especiais de seno/cosseno de \tfrac{\pi}{2}.
Primeiro calcule \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right) usando a fórmula de cosseno da soma:
\cos\!(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Tomando \alpha=\tfrac{\pi}{2} e \beta=t, e lembrando que \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\cos t - \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\sin t = 0\cdot\cos t - 1\cdot\sin t = -\sin t.
Assim está demonstrada \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t, que é equivalente a -\sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right).
Agora calcule \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right) usando a fórmula do seno da soma:
\sin\!(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.
Com \alpha=\tfrac{\pi}{2} e \beta=t:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\cos t + \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\sin t = 1\cdot\cos t + 0\cdot\sin t = \cos t.
Logo \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\cos t, que é a identidade pedida.
(Geometricamente: o ângulo \tfrac{\pi}{2}+t está no quadrante onde a abscissa é -\sin t e a ordenada é \cos t; a adição de \tfrac{\pi}{2} troca e possivelmente muda sinal dos catetos.)

Passo 6

Demonstração de \sin(t)=\sin(\pi-t).
Geometria / reflexão:
  • O ângulo \pi-t é o suplemento de t; no círculo trigonométrico ele é a reflexão do ponto correspondente a t em torno do eixo y. Essa reflexão mantém a ordenada (o valor de seno) e troca o sinal da abscissa (o cosseno).
  • Portanto os dois ângulos têm a mesma ordenada, isto é:
\sin(\pi-t)=\sin t.
Também se pode ver pela fórmula do seno da diferença:
\sin(\pi-t)=\sin\pi\cos t - \cos\pi\sin t = 0\cdot\cos t - (-1)\sin t = \sin t.

Passo 7

Demonstração de -\cos(t)=\cos(\pi+t).
Usando a fórmula do cosseno da soma com \alpha=\pi e \beta=t:
\cos(\pi+t)=\cos\pi\cos t - \sin\pi\sin t.
Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, resulta
\cos(\pi+t)=(-1)\cos t - 0\cdot\sin t = -\cos t.
Geometricamente, o ângulo \pi+t é obtido girando t além de \pi; isso coloca o ponto na posição oposta ao de t em relação à origem no eixo x, invertendo o sinal da abscissa (cosseno).

Resposta

\sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)
\cos(t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)
-\sin(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)
\cos(t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)
\sin(t)=\sin(\pi-t)
-\cos(t)=\cos(\pi+t)

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