Então, a gente precisa demonstrar que o limite de quando tende ao infinito é 0. Isso faz parte de um conteúdo que envolve limites de sequências. Para resolver isso usando a definição, vamos precisar entender a definição de limite para sequências: basicamente, queremos mostrar que para qualquer número pequeno , existe um ponto a partir do qual todos os termos da sequência estão a menos de de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que queremos provar usando a definição matemática. Queremos mostrar que:
Segundo a definição, para todo , precisamos encontrar um número tal que para todo , a expressão seja menor que varepsilon.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão que queremos que seja menor que varepsilon:
|n - 1n^2 + 1| = n - 1n^2 + 1
Como n é grande, podemos ignorar o -1 no numerador e o +1 no denominador para facilitar a aproximação:
nn^2 = 1n
Então, queremos que 1n < varepsilon.
Passo 4
Para que 1n < varepsilon, basta inverter a inequação:
n > 1varepsilon
Isso significa que se escolhermos N = 1varepsilon, então para todo n > N, a condição 1n < varepsilon será satisfeita.
Passo 5
Agora, formalizando tudo: dado qualquer varepsilon > 0, escolhemos N = 1varepsilon. Assim, para todo n > N, temos:
|n - 1n^2 + 1| < varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite, provando que o limite da sequência é realmente 0.