Demonstre, usando a definição, que lim n +infty n-1n^2+1=0.

Passo 1

Então, a gente precisa demonstrar que o limite de n - 1n^2 + 1 quando n tende ao infinito é 0. Isso faz parte de um conteúdo que envolve limites de sequências. Para resolver isso usando a definição, vamos precisar entender a definição de limite para sequências: basicamente, queremos mostrar que para qualquer número pequeno varepsilon > 0, existe um ponto a partir do qual todos os termos da sequência estão a menos de varepsilon de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos provar usando a definição matemática. Queremos mostrar que:
limn to +infty n - 1n^2 + 1 = 0
Segundo a definição, para todo varepsilon > 0, precisamos encontrar um número N tal que para todo n > N, a expressão |n - 1n^2 + 1 - 0| seja menor que varepsilon.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que queremos que seja menor que varepsilon:
|n - 1n^2 + 1| = n - 1n^2 + 1
Como n é grande, podemos ignorar o -1 no numerador e o +1 no denominador para facilitar a aproximação:
nn^2 = 1n
Então, queremos que 1n < varepsilon.

Passo 4

Para que 1n < varepsilon, basta inverter a inequação:
n > 1varepsilon
Isso significa que se escolhermos N = 1varepsilon, então para todo n > N, a condição 1n < varepsilon será satisfeita.

Passo 5

Agora, formalizando tudo: dado qualquer varepsilon > 0, escolhemos N = 1varepsilon. Assim, para todo n > N, temos:
|n - 1n^2 + 1| < varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite, provando que o limite da sequência é realmente 0.

Resposta

0

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